Cubo in un campo finito

[peppespe]

Come noto per verificare se un elemento x è un quadrato in un campo finito di ordine n, posso utilizzare il simbolo di Jacobi, ma come posso verificare se questi è un cubo nel medesimo campo?
Ragazzi aiutatemi, ho cercato in rete ma nulla in merito.

[Lord K]

una traccia. Proviamo a generalizzarlo ricordando che se:

$x^2\equiv a (n)$ abbiamo che $(x/a) \equiv a^((n-1)/2) (n)$ e abbiamo soluzione al problema se e solamente se $GCD(a,n)=1$

Da notare che il suddetto simbolo di Jacobi non garantisce per $a$,$n$ qualsiasi la risoluzione del problema quadratico. Quello che a noi serve è il simbolo di Legendre!

Portiamoci ora sul problema posto:

$x^3 \equiv a (n)$

Sappiamo che:

$alpha^n \equiv alpha (n)$

Possiamo avere i seguenti casi:

1) $n=3k+1$

Allora la soluzione esiste se:

$a^((n-1)/3) \equiv 1 (n)$

analogo al simbolo di Legendre... il secondo caso a brevissimo...

P.S: la mia notazione $a\equivb(c)$ corrisponde a $a\equivb(modc)$

[Lord K]

2) $n=3k+2$

Qui la situazione è lievemente più complicata. Sempre dal teorema di Fermat:

$alpha^(3k+2) \equiv alpha (n)$
$alpha^(3k) \equiv alpha^(-1) (n)$

$alpha^(-3k) \equiv alpha (n)$

Da cui abbiamo la soluzione al problema:

$x^3 \equiv a(n)$

$x \equiv a^((2-n)/3) (n)