esercizi isomorfismi

[moxetto]

1) Dimostrare che A è isomorfo a $RR$*x$RR$
con A=$((a,o),(b,a))$ $in$ G$L_2$($RR$)
2) Dimostrare che $ZZ$[i]/I è isomorfo a $ZZ$/2$ZZ$
con $ZZ$[i]={a+ib$in$$CC$ tale che a,b$in$$ZZ$} e I={a+ib$in$$ZZ$[i] tale che a$-=$b(mod2)}

ecco cosa sono riuscito a fare
2) per il primo teorema di omomorfismo f:$ZZ$[i]/I$rarr$$ZZ$/2$ZZ$ è un omomorfismo iniettivo se
g:$ZZ$[i]$rarr$$ZZ$/2$ZZ$ è un omomorfismo di anelli con ker(g)=I
dimostro che g:$ZZ$[i]$rarr$$ZZ$/2$ZZ$ è un omomorfismo: (a+ib) e (c+id) $in$ $ZZ$[i]
g((a+ib)+(c+id))=g((a+c)+i(b+d))=$[a+c]_2$=$[a]_2$+$[c]_2$=g(a+ib)+g(c+id) OK
$g((a+ib)*(c+id))=g(ac+iad+ibc+i^2*bd)=g(ac+iad+ibc-bd)=g(ac-bd+i*(ad-bc))=$$[ac-bd]_2$ che è diverso da $g(a+ib)*g(c+id)$=$g(a)*g(c)$
e poi ker(g)$!=$I perchè l'elemento neutro di $ZZ$/2$ZZ$ è 0 e f(1)=1$!=$0 ma 1+i $in$ I giusto?

[rubik]

innanzitutto in $RR^*xxRR$ dove $(a,b)xx(c,d)=(a*c,c+d)$

l'isomorfismo è $((a,0),(b,a))->(a,b/a)$ è ben definito perchè "a" deve essere sempre diverso da zero.

tu hai preso $g(a+ib)=[a]_2$? non mi è molto chiaro, se è così non funziona, un elemento $a+ib$ appartiene ad $I$ se $a-=bmod(2) iff a-b-=0mod(2)$

quindi l'applicazione giusta dovrebbe essere $g(a+ib)=[a-b]_2$

$g((a+ib)+(c+id))=g((a+c)+i(b+d))=[a+c-b-d]_2=[a-b]_2+[c-d]_2$ ok

$g((a+ib)*(c+id))=g(ac-bd+i*(ad-bc))=[ac-bd-ad+bc]_2=[a-b]_2*[c-d]_2$ il prodotto l'ho copiato da te quindi se è sbagliato.... per l'ultima uguaglianza si deve notare che $-1-=1mod(2)$ e che $pi_2:ZZ->Z_2$ $pi_2(n)=[n]_2$ è omomorfismo.

buone feste

[moxetto]

Grazie per la risposta, il secondo esercizio con la funzione che hai usato tu esce! Mi domandavo per trovare l'applicazone giusta si fa per tentativi o per intuizione, no? ad esempio per il primo esercizio non ci sarei ma arrivato, io pensavo ad una cosa del genere f(A)=$a^2-b*0$ cioè uguale al determinante della matrice però effettivamente così non ottenevo un prodotto scalare! Potevo anche usare $((a,0),(b,a))$ $rarr$ $(a,a*b)$ o qualcosa del genere?

buone feste anche a te!!!!!

[rubik]

per il primo esercizio ho visto subito che $a!=0$ perchè le matrici del gruppo sono invertibili per ipotesi quindi ho pensato di mandare sicuramente a nella prima entrata (quella in $RR^*$) al che ho provato a mandare b su cui non sapevo nulla nella seconda ottenendo:

$((a,0),(b,a))->(a,b)$ poi ho provato a dimostrare che fosse un omomorfismo e non funziona:

$((a,0),(b,a))*((c,0),(d,c))=((ac,0),(b*c+a*d,ac))->(ac,b*c+a*d)!=(a,b)xx(c,d)$

però si nota che la prima entrata va bene, quindi si può lasciare così come, va aggiustata la seconda, poi sono andato ad occhio, ho usato l'applicazione che ti ho detto e quella funzionava. a posteriori forse si può notare che nel caso in cui $a=c=1$ allora $(ac,b*c+a*d)=(ac,b+d)=(a,b)xx(c,d)$ quindi mandare $((a,0),(b,a))->(a,b/a)$ in qualche modo toglie questa dipendenza da a, se ti convince... poi non so se ci sono altre strade può darsi. di sicuro l'immagine di una matrice doveva essere una coppia di elementi e non uno solo altrimenti l'applicazione non è ben definita, usare il determinante come prima entrata non sarebbe andato bene perchè avresti ottenuto solo valori positivi mentre avevi tutto $RR^*$

nel secondo caso dovevi costruire un'applicazione che mandava $I$ a zero quindi dovevi capire come era fatto e partire da lui ed io ho fatto proprio così ho dettop $a+ib in I iff a-=bmod(2) iff a-b-=0mod(2)$ quindi mandando $a+ib->[a-b]_2$ ottenevo quello che mi serviva restava solo da controllare che fosse un omomorfismo.

[moxetto]

Non ho parole, sei stato fantastico!