da NightKnight » 29/12/2008, 00:24
Per dimostrare che $A$ è isomorfo a $F_2$ puoi usare 2) ed evitare 1).
Comunque il risultato che ho usato per determinare l'ordine dell'anello quoziente è un lemmettino che si dimostra grazie al teorema di Pick e che considera come insieme di rappresentanti delle classi laterali dell'ideale (z) i punti del piano complesso a coordinate intere che stanno nel quadrato di vertici 0, z, iz, (1+i)z (escludendo 2 lati e 3 vertici). Non l'ho trovato su nessun libro; l'ho dimostrato da solo, ma spesso è utile.
A mio avviso l'esercizio, così come postato da te, è risolto. Ma se proprio vuoi usare un campo K diverso da A, allora:
b) basta scegliere come K un campo che contiene un'immagine isomorfa $F_2$, quindi possiamo prendere una chiusura algebrica di $F_2$, o un campo di $2^n$ elementi o equivalentemente $F_2[X] // (f(X))$ dove $f(X) in F_2[X]$ è un polinomio irriducibile, oppure più in generale un campo a caratteristica 2.
c) in questo caso non si può, perché $F_2$ non ha sottocampi propri.
NB: si è usato che:
i) nella definizione di campo 0 sia diverso da 1, perché altrimenti ${0}$ è un sottocampo di $F_2$; ma questa in realtà è un'inezia perché è regola generale supporre in ogni anello commutativo con identità 0 diverso da 1.
ii) un omomorfismo di anelli commutativi con identità per definizione manda 1 in 1; questo non sempre viene richiesto per definizione, e quindi senza questa condizione nella definizione, l'applicazione costante nulla è un omomorfismo di anelli per ogni coppia di anelli, e quindi K poteva essere un campo qualsiasi.