esempio di gruppo abeliano

[deserto]

Sono riuscito a dimostrare la proposizione:
se in un gruppo $G$ ogni elemento coincide col suo inverso, allora il gruppo è abeliano.
In particolare se l'ordine di $G$ è $3$ allora si ha $G={e,a,b}$ con $e,a,b$ tutti distinti tra di loro, $e$ elemento neutro; supponendo che sia anche $a^2=e$ e $b^2=e$ allora per la proposizione precedente $G$ è un gruppo abeliano.
Qualcuno è in grado di fornirmi un esempio di un tale gruppo con ordine $3$? grazie

[vict85]

Il gruppo ciclico di ordine 3 è l'unico gruppo di ordine 3 ed è abeliano.

[rubik]

l'ordine di un elemento divide sempre l'ordine del gruppo (se il gruppo è finito) i tuoi elementi hanno ordine 2 e stanno in un gruppo di ordine 3 qualcosa non va.

[deserto]

Rubik hai ragione, però:
se $G={e,a,b}$ tale che $a^2=e$ e $b^2=e$ si ha $a=a^(-1)$ e $b=b^(-1)$.
ora $ea=ae$ e $eb=be$, resta da verificare che è $ab=ba$: ed infatti $ab=a^(-1)b^(-1)=(ba)^(-1)=ba$ poichè abbiamo assunto che ogni elemento di $G$ coincida col suo inverso.

Lo Herstein da cui ho preso questo esercizio parla di gruppo in generale quindi eventualmente anche di ordine finito.

D'altra parte, per un guppo di ordine finito sussiste proprio il risultato che hai annunciato tu.

In effetti si ricade in una contraddizione, avete qualche idea?

[miuemia]

scusa deserto mi spieghi come può essere che $a^2=e$ se l'ordine è 3????

[deserto]

Certamente:
ogni elemento del gruppo deve coincidere con il suo inverso, quindi $a=a^(-1)$ da cui $a^2=e$; invece l'ordine di $G$ è $3$, ossia $G$ è costituito da $3$ elementi.
Questo è quanto riportato nell'esercizio.

[rubik]

non puoi avere elementi di ordine 2 in un gruppo con 3 elementi http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... dei_gruppi)
tu parli di un $a*b$ che forse è il 4° elemento del gruppo anche perchè se fosse $a*b=a$ avresti $b=e$ che quindi non avrebbe ordine 2 e se fosse $a*b=b$ allora $a=e$ così non avrebbe a ordine 2 quindi $ab$ deve stare nel gruppo oppure o a o b sono l'elemento neutro. Forse postare il testo completo dell'esercizio aiuterebbe a capire.

[deserto]

Giustamente ci stavo arrivando ... se fosse $ab=e$ allora si avrebbe $a=b^(-1)=b$ e in tale caso gli elementi del gruppo sarebbero $2$ e non $3$.
Quindi se $G={e,a,b}$ con $a=a^(-1)$ e $b=b^(-1)$ allora necessariamente $G$ si riduce ad avere due soli elementi e in tal caso il suo ordine sarebbe $2$, inoltre sarebbe abeliano.

Il testo completo dell'esercizio è:
Dimostrare che se ogni elemento di un gruppo $G$ coincide con il proprio inverso, allora $G$ è abeliano.

Nel caso in cui $G$ fosse costituito da quattro elementi $G={e,a,b,c}$ allora se fosse $ba=c$ non si sarebbe obbligati a ridimensionare l'ordine del gruppo.

[rubik]

comunque l'ipotesi che $a=a^(-1) AA a in G$ non ti dice nulla sulla grandezza di G, questi gruppi sono prodotti di $ZZ_2$. comunque mi sembra tutto risolto

[GreenLink]

Se il testo completo è quello non c'è bisogno di scomodare la cardinalità del gruppo secondo me.
Se $G$ è costituito dall'unico elemento neutro non c'è niente da dimostrare.
Se $forall g \in G \, g=g^-1$, in particolare, presi $a,b \in G$ allora $ab \in G$ e coincide con il suo inverso.
Da $ab=(ab)^-1$ si ha $ab=ba$ , che prova la commutatività.
Puoi avere solo gruppi di ordine pari con questa proprietà, perchè l'ordine di ogni elemento è 2 che deve dividere la cardinalità del gruppo per Lagrange.