Un paio di quesiti

[lellina89]

allora del terzo sono riuscita a fare solo il primo punto...
Per verificare che $H$ sia sotto gruppo normale di $G$ ho considerato un elemeto $g$ $in$ $G$ e $\varphi$ $in$ $H$ che posti nella forma $g\varphig^-1$ formano il gruppo $gHg^-1$ cioè $gHg^-1={ g\varphig^-1}$ ,ora dobbiamo verificare che questo gruppo sia contenuto in $H$.Tenedo conto che l'operazione definita è la somma avremo:
$(g+\varphi+g^-1)([4]_32)=g([4]_32)+\varphi([4]_32)+g^-1([4]_32)=g([4]_32)+[0]_16+g^-1([4]_32)$
poichè l'immagine di $g$ e $g^-1$ è definita in $ZZ/16ZZ$ [0]_16 è l'elemeto neutro rispetto alla somma e qualsiasi siano le immagini di $g$ $g^-1$ si elidono e ciò che rimane è proprio [0]_16 quindi $gHg^-1$ è contenuto in $H$
spero sia giusto...ora però ho problemi sulla seconda parte potresti aiutarmi gentilmente

[lellina89]

allora del terzo sono riuscita a fare solo il primo punto...
Per verificare che $H$ sia sottogruppo normale di $G$ ho considerato un elemeto $g$ $in$ $G$ e $\varphi$ $in$ $H$ che posti nella forma $g\varphig^-1$ formano il gruppo $gHg^-1$ cioè $gHg^-1={ g\varphig^-1}$ ,ora dobbiamo verificare che questo gruppo sia contenuto in $H$.Tenedo conto che l'operazione definita è la somma avremo:
$(g+\varphi+g^-1)([4]_32)=g([4]_32)+\varphi([4]_32)+g^-1([4]_32)=g([4]_32)+[0]_16+g^-1([4]_32)$
poichè l'immagine di $g$ e $g^-1$ è definita in $ZZ//16ZZ$ e che $[0]_16$ è l'elemeto neutro rispetto alla somma in $ZZ//16ZZ$ qualsiasi siano le immagini di $g$ $g^-1$ ciò che rimane è proprio $[0]_16$ quindi $gHg^-1$ è contenuto in $H$
spero sia giusto...ora però ho problemi sulla seconda parte potresti aiutarmi gentilmente
PS ho mandato per sbaglio il messaggio di prima era solo una bozza

[alvinlee88]

E' scritto malino, ma credo che sostanzialmente tu abbia capito. Vediamo:

Per verificare che $H$ sia sottogruppo normale di $G$ ho considerato un elemeto $g$ $in$ $G$ e $\varphi$ $in$ $H$

ok, devono essere generici

che posti nella forma $g\varphig^-1$ formano il gruppo $gHg^-1$ cioè $gHg^-1={ g\varphig^-1}$ ,

Qui hai fatto casino: $gHg^-1={ g\varphig^-1| \varphi in H}$, ossia $\varphi$ varia in $H$. Come avevi scritto te , $gHg^(-1)$ era composto
da un solo elemento, $g\varphig^-1$

ora dobbiamo verificare che questo gruppo sia contenuto in $H$.

Esatto, ribadendo che il gruppo giusto è $gHg^-1={ g\varphig^-1| \varphi in H}$, e che questo deve essere contenuto in $H$
al variare anche di $g$. La definizione di sottogruppo normale è $AAginG, AAhinH$, deve essere $ghg^(-1)inH$

Tenendo conto che l'operazione definita è la somma avremo:
$(g+\varphi+g^-1)([4]_32)=g([4]_32)+\varphi([4]_32)+g^-1([4]_32)=g([4]_32)+[0]_16+g^-1([4]_32)$
poichè l'immagine di $g$ e $g^-1$ è definita in $ZZ//16ZZ$ e che $[0]_16$ è l'elemeto neutro rispetto alla somma in $ZZ//16ZZ$ qualsiasi siano le immagini di $g$ $g^-1$ ciò che rimane è proprio $[0]_16$

ok

quindi $gHg^-1$ è contenuto in $H$

SI, hai dimostrato che $g\varphig^(-1)inH$ per ogni $ginG$ e $AA \varphi in H$, quindi hai finito.
Nota che tutte queste preicisazioni e riscritture che ti ho fatto non le ho fatte perchè mi diverto, ma perchè è quello che
devi scrivere te per una soluzione corretta. Come avevi scritto all'inizio te la soluzione era perlomeno incompleta.


Per la seconda parte ti rimando a quanto ti ho già detto, che evidentemente ti era sfuggito.

Il terzo:
ti do solo qualche indizio, poi provaci da sola. Intanto credo tu intendessi $G=Hom(ZZ//32ZZ,ZZ//16ZZ)$. il punto a) è facile, anche per la normalità basta che usi la definizione e l'operazione di gruppo definita dal testo.
Per il punto b), ti consiglio di dimostrare che $H$ ha $4$ elementi. Siccome $G$ ne ha $16$ (perchè?), allora $G//H$ ne avrà 4, e sarà quindi isomorfo a $ZZ//4ZZ$ , se è ciclico, o a $ZZ//2ZZ X ZZ//2ZZ$ se non lo è. Per concludere, basta quindi che trovi un elemento di
ordine 4 in $G//H$....
Scrivi qui la soluzione completa del terzo, se ci sono problemi ti si aiuta.