Un paio di quesiti

[lellina89]

avrei dei problemi con i seguenti esercizi, potreste cortesemente aiutarmi e magari svolgerli spiegandomi cosa avete fatto per giungere alla soluzione?
Esercizio 1: Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine finito $n$ e generato da $\alpha$; sia $H_d$ il sottogruppo di $G$ di ordine $d$.
a) verificare che esiste un sottogruppo $K$ di $G$ tale che $H_d$ $~=$ $G/K$
b) dimostrare che $G$ $~=$ $H_d$ $x$ $K$ se e solo se $(d,n/d)=1$
Esercizio 2: sia $G$ un gruppo abeliano e sia $p$ un numero primo. Definiamo
$P$ $=$ {$a$ $in$ $G$ : o(a) e' una potenza di p}
a. Verificare che $P$ è sottogruppo di $G$
b. Verificare che in $G/P$ non ci sono elementi di ordine $p$
Esercizio 3: sia $G$=Hom($ZZ$$/$$4$$ZZ$,$ZZ$$/$$16$$ZZ$) il gruppo degli omomorfismi $\varphi$ : $ZZ$$/$$32$$ZZ$ $->$ $ZZ$$/$$16$$ZZ$ con l'operazione ($\varphi$ +$\psi$) ($[a]_32$)=$\varphi$($[a]_32$)+$\psi$($[a]_32$) e sia $H$={$\varphi$ $in$ $G$ t.c.
$\varphi$($[4]_32$)=$[0]_16$}.
a) verificare che $H$ è sottogruppo normale di $G$
b) dimostrare che $G$$/$$H$$~=$$ZZ$$/$$4$$ZZ$

[alvinlee88]

Vediamo di risolvere questi esercizi.
Per il primo:
Il gruppo è ciclico di ordine n, quindi è isomorfo a $ZZ//nZZ$. Il sottogruppo $H_d$, essendo sottogruppo di un ciclico, sarà a sua volta ciclico, in particolare isomorfo a $Z//dZ$.
Ora, per uno dei mille teoremi di omomorfismo, sappiamo che $(G//H) //(T//H) $ è isomorfo a $G//T$ (con $H subset T$ sottogruppi normali di $G$). Nel nostro caso, $G=ZZ$, $H=nZZ$ e $T=dZ$, ottenendo così che $ZZ//dZZ~=(ZZ//nZZ)//(dZ//nZZ)$, per cui il sottogruppo $K$ cercato è $dZZ//nZZ$, altrimenti detto $ZZ//n/dZZ$.
Il secondo:
il punto a è banale, devi solo tener conto, per dimostrare la chiusura, che in un gruppo abeliano $ord(ab)$ divide $m.c.m(ord(a),ord(b))$, dove con m.c.m. ho indicato il minimo comune multiplo.
Per il secondo punto:
Sia $g+P$ un generico elemento di $G//P$. $(g+P)^p=P=e_(G//P) <=> g^p+P=P <=> g^p in P <=> ord(g^p)=p^k$, con $k$ intero. Ma allora $g^p^(k+1)=e$, da cui $ord(g)|p^(k+1)$, e dunque è a sua volta un multiplo di $p$, per cui
$g in P$, e dunque $g+P=P$, per cui solo $P$, in $G//P$, ha ordine che divide $p$, ma essendo l'identità del quoziente il suo ordine è $1$, e non $p$, per cui non c'è nessun elemento di ordine $p$.
p.s. mi ricordo che questo esercizio lo incontrai l'anno scorso quando preparavo aritmetica: mica studi a Pisa?

Il terzo:
ti do solo qualche indizio, poi provaci da sola. Intanto credo tu intendessi $G=Hom(ZZ//32ZZ,ZZ//16ZZ)$. il punto a) è facile, anche per la normalità basta che usi la definizione e l'operazione di gruppo definita dal testo.
Per il punto b), ti consiglio di dimostrare che $H$ ha $4$ elementi. Siccome $G$ ne ha $16$ (perchè?), allora $G//H$ ne avrà 4, e sarà quindi isomorfo a $ZZ//4ZZ$ , se è ciclico, o a $ZZ//2ZZ X ZZ//2ZZ$ se non lo è. Per concludere, basta quindi che trovi un elemento di
ordine 4 in $G//H$....
Scrivi qui la soluzione completa del terzo, se ci sono problemi ti si aiuta.
ciao

[lellina89]

ok l'ho appena letto ora mi applico e ti faccio sapere grazie 1000!!!!
:-*

[lellina89]

una curiosità... io nel secondo esercizio per verificare che P è sottogruppo di G verifico 3 cose:
1)l'elemento neutro appartiene a P
2)presi due elementi apparteneti a P il loro prodotto appartiene ancora a P
3)apparteneza dell'inverso di un elemento di P
mi chiedevo se le verifiche fossero equivalenti...aspetto tue notizie grazie anticipatamente

[alvinlee88]

si, devi verificare quelle 3 cose, ma la prima (il neutro) e l'ultima (l'inverso) sono banali, per questo non te le ho scritte. Quella un pò meno facile è la chiusura, ovvero che dati 2 elementi nel sottogruppo
anche il loro prodotto ci sta, e per verificare questo devi usare quella cosa sull'mcm che ti ho detto sopra.
Comunque devi sempre verificare tutte e 3 le cose, non sono equivalenti fra loro.
In realtà, il fatto che $e$, il neutro, stia nel sottogruppo, discende dalle altre 2 proprietà (inverso e chiusura). Infatti se $a inH$, dato che H è chiuso per l'inverso $a^(-1)inH$, e per la chiusura $aa^(-1)=einH$. Però un sottogruppo è un sottoinsieme NON VUOTO (importante!), quindi quanto detto finora per ottenere $e$ va bene se dimostri che in $H$
c'è almeno un elemento, cioè che non sia vuoto. E spesso la cosa più facile è dimostrare che $einH$, quindi tanto vale introdurre
$einH$ come condizione a parte per essere un sottogruppo. Spero di essere stato chiaro...

[lellina89]

si si chiarissimo infatti negli appunti mi trovo scritto che verificare che l'insieme non è vuoto perchè contiene l'elemento neutro solitamente è facile

[lellina89]

ah non avevo letto la tua domanda scusa...no non studio a pisa ma il mio prof è di pisa magari lo conosci si chiama Andrea Bandini...cmq studio a cosenza

[alvinlee88]

Comunque il terzo esercizio non è risolto, ti ho solo dato degli spunti, invitandoti a scrivere la soluzione completa da te, per vedere se hai effettivametne capito come risolvere quel tipo di esercizio...

[lellina89]

si si lo so il problema è che ieri non ho fatto nulla ihihihihihih

[alvinlee88]

si si lo so il problema è che ieri non ho fatto nulla ihihihihihih

eh beh mi pare giusto!