esercizi sui gruppi

[deserto]

Mi sto cimentando sui due seguenti esercizi:

1) Se in un gruppo $G$ risulta $a^5=e$ e $aba^-1=b^2$ per $a,b in G$, trovare l'ordine di $b$

2) Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ tale che $3$ non divida $n$ e tale che $(ab)^3=a^3b^3$ per ogni $a,b in G$. Dimostrare che $G$ è abeliano.

Per il primo si potrebbe notare che da $a^5=e$ segue $a^-1=a^4$ e quindi $aba^-1=b^2$ implica $aba^4=b^2$, ma pur provando con vari esponenti non riesco a raggiungere un risultato.

Per il secondo ho provato con $n=4$ e risulta abeliano, ma non riesco a generalizzare.

Potete suggerirmi qualche traccia valida? Grazie

[Eredir]

Per il primo puoi notare che $b^4 = aba^{-1} * aba^{-1} = ab^2a^{-1} = a^2ba^{-2}$.
Allora si vede facilmente che $b^{2^5} = a^5ba^{-5} = b$ perciò l'ordine di $b$ è $31$.
Infine essendo $31$ un numero primo è necessariamente l'ordine dell'elemento e non un suo multiplo.

[GreenLink]

Per il secondo ho svolto qualche passaggio, non so se possono risultare utili.

$(ab)^3=a^3 b^3$, dunque $ababab=a^3 b^3$.
Moltiplicando a sinistra per $a^-1$ e a destra per $b^-1$ si ottiene $baba=a^2 b^2$.
Analogamente, da $(ba)^3=b^3 a^3$ si ha $abab=b^2 a^2$.
Dunque: $(ba)^2=a^2 b^2$ e $(ab)^2=b^2 a^2$
Si ottiene quindi $a^3 b^3=ab (ab)^2=ab b^2a^2$ e $a^3 b^3=(ab)^2 ab= b^2 a^2 ab$;
analogamente $b^3 a^3=ba (ba)^2=ba a^2b^2$ e $b^3 a^3=(ba)^2 ba= a^2 b^2 ba$.

[deserto]

Grazie per i suggerimenti.
Per il primo esercizio è tutto ok, mentre per il secondo non ci sono ancora.
Poichè $3$ non divide $n$ potrei scrivere $n=3q+r$ con $q in NN$ ed $r=1$ o $r=2$.
Poichè $n$ è l'ordine di $G$ si ha: $g^n=e AA g in G$.
In particolare: $(ab)^n=e$ quindi $ab=(ab)^-(n-1)$.
A questo punto discuterei separatamente i casi $r=1$ ed $r=2$.
Per $r=1$ avrei $ab=(ab)^-(3q)$ e per avere la tesi mi basterebbe provare che $ba=(ab)^-(3q)$ ma non so come poi procedere.
Altri consigli? Grazie

[vict85]

Non ho ancora trovato la soluzione comunque io stavo pensando al fatto che se $(ab)^3 = a^3b^3$ e se $3$ non divide $n$ allora la funzione $f: x \mapsto x^3$ è un isomorfismo di gruppi.
Infatti $f(ab) = (ab)^3 = a^3b^3 = f(a)f(b)$ e $ker(f)={1}$ perché $3$ non divide $n$. Quindi rimarrebbe da dimostrare che $Im(f)$ è abeliano, cioé che $a^3b^3 = b^3a^3$ o che $(ab)^3 = (ba)^3$.

[fields]

2) Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ tale che $3$ non divida $n$ e tale che $(ab)^3=a^3b^3$ per ogni $a,b in G$. Dimostrare che $G$ è abeliano.

Te lo divido in due parti, cosi' la prima risulta un suggerimento per la seconda:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dimostriamo innanzitutto che ogni elemento di $G$ commuta con ogni quadrato. Dal momento che - come ha osservato vict85 - la funzione $x\mapsto x^3$ e' una permutazione, certamente ogni elemento di $G$ e' un cubo. Dunque e' sufficiente mostrare che ogni cubo commuta con ogni quadrato. In effetti:

$a^3b^3a^{-3}=(aba^{-1})^3=aba^{-1}aba^{-1}aba^{-1}=ab^3a^{-1}$

dunque

$a^2b^3a^{-2}=b^3$

e quindi

$a^2b^3=b^3a^2$

come volevamo dimostrare.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ora

$ababab=(ab)^3=a^3b^3$

dunque

$baba=a^2b^2=b^2a^2$

e quindi

$ab=ba$.

[deserto]

Non ho capito!
Più precisamente non ho capito per quale motivo risulti $a^2b^2=b^2a^2$

[francescodd]

$ababab=(ab)^3


$a^(-1)ababab b^(-1)=a^(-1)a^3b^3b^(-1)$ che semplificando diventa

$baba=(ab)^2=a^2b^2$

ma

$baba$ è uguale anche ad $(ba)^2=b^2a^2$ per il gruppo

quindi $(ab)^2=(ba)^2$ da cui segue $ab=ba$

spero di essere stato chiaro e mi scuso con fields

[fields]

Non ho capito!
Più precisamente non ho capito per quale motivo risulti $a^2b^2=b^2a^2$

Nella prima parte ho dimostrato che ogni elemento di $G$ commuta con ogni quadrato. In formule: $\forall x, y \in G$ $xy^2=y^2x$

[deserto]

Ora ho capito
Ringrazio tutti quelli che hanno contribuito con consigli e suggerimenti
Nei prossimi giorni posterò qualche esercizio sui sottogruppi normali