Campi di spezzamento

[Mondo]

Dire se $ZZ_3[x]$ $/(x^4+x+1)$ è campo di spezzamento per $x^4+x+1$.

Ora l'unico metodo che conosco è
1) verificare che il polinomio è effettivamente irriducibile
2) vedere che ha 4 radici nel campo facendo TUTTE le prove (che qui sono $3^4$)

C'è un modo un po' più veloce di farsi le 81 prove?

[Mondo]

allora dopo lunghi conti, mi risulta che il campo non è di spezzamento perchè ho trovato solo 2 radici...
Ho fatto così (chi ha un metodo migliore please lo posti...)

divido per $\alpha$ con $\alpha^4+\alpha+1=0$ e ottengo un polinomio di grado 3 a cui sostituisco la generica soluzione del tipo $a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d$ e a questo punto cerco sostituendo le souzione del sistema diofanteo (l'unica strada veloce temo sia proprio sostituire perchè il sistema è brutto brutto...)

Mi viene una sola soluzione e concludo dicendo che ha 2 radici e basta quindi il campo non è di spezzamento.

[GreenLink]

Non è un campo, quindi sicuramente non può essere un campo di spezzamento.
Infatti il polinomio ha radice in 1.

[Mondo]

che scemo... non me n'ero accorto...