Dubbio su una dimostrazione per induzione

[G.D.]

Stavo tentando per sport la dimostrazione del seguente fatto: sia $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in RR_{>=0}^{n}$ con $n>=2$; se $\sum_{i=1}^{n} x_i =1$ allora $\forall i, x_i \in [0;1]$.
Stavo tentando di procedere per induzione, quando mi è sorto il dubbio che in questo caso l'induzione non funziona.
Spiego perché: per $n=2$ viene facile; per $n>2$ dobbiamo assumere vero l'asserto e provarne la validità per $n+1$, ma in questo caso l'asserto è una struttura implicativa del tipo $A => B$ con $A:=\sum_{i=1}^{n+1} x_i =1$ e $B:=\forall i, x_i \in [0;1]$, quindi assumere vero l'asserto significa assumere vera l'implicazione il che non significa assumere per vero il fatto che $\sum_{i=1}^{n+1} x_i$ e senza questa assunzione il passo base non lo posso usare.

Sono in errore?
Se no, come procedo?

[Tipper]

Io direi che la puoi usare lo stesso... Supponiamo che $\sum_{i=1}^n x_i = 1 \implies x_i \in [0,1]$ per $i=1, 2, \ldots, n$. Ci sono due possibilità, o $A$ è vera oppure è falsa. Se $A$ è falsa allora $A \implies B$ è vera, quindi sei a posto. Se invece $A$ è vera significa che

$\sum_{i=1}^{n+1} x_i = 1 = \sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1} = 1 + x_{n+1}$, cioè $0 = x_{n+1} \in [0,1]$, quindi $x_i \in [0,1]$ per $i=1,2, \ldots, n+1$

cioè anche $B$ è vera, di conseguenza lo è pure $A \implies B$. Anche se non bellissima, a me pare funzioni...

Domanda: hai usato l'induzione solo perché avevi voglia di farla con l'induzione? Ti chiedo questa cosa perché per assurdo sarebbe immediata...

[franced]

Stavo tentando per sport la dimostrazione del seguente fatto: sia $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in RR_{>=0}^{n}$ con $n>=2$; se $\sum_{i=1}^{n} x_i =1$ allora $\forall i, x_i \in [0;1]$.
Stavo tentando di procedere per induzione
...

Ma perché non la dimostri per assurdo?

[G.D.]

La volevo provare per induzione perché per assurdo già la avevo provata. Se per assurdo $\exists 1<=j<=i : x_j \notin [0;1]$, allora, stante il fatto che $\forall i, x_i >=0$, risulta $sum x_1 >1$ contro l'ipotesi.

Ti spiego anche perché mi è venuto sto dubbio. Il Teorema di Sylvester-Gallai è un classico esempio di induzione che fallisce. E l'induzione fallisce perché l'ipootesi induttiva è appunto una implicazione. Ho notato l'analogia con questo.
Boh, non saprei.

[Tipper]

Io direi che la puoi usare lo stesso... Supponiamo che $\sum_{i=1}^n x_i = 1 \implies x_i \in [0,1]$ per $i=1, 2, \ldots, n$. Ci sono due possibilità, o $A$ è vera oppure è falsa. Se $A$ è falsa allora $A \implies B$ è vera, quindi sei a posto. Se invece $A$ è vera significa che

$\sum_{i=1}^{n+1} x_i = 1 = \sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1} = 1 + x_{n+1}$, cioè $0 = x_{n+1} \in [0,1]$, quindi $x_i \in [0,1]$ per $i=1,2, \ldots, n+1$

cioè anche $B$ è vera, di conseguenza lo è pure $A \implies B$

Questa, però, non è completa, perché contempla solo il caso $\sum_{i=1}^n x_i = 1$. Se invece $\sum_{i=1}^n x_i \ne 1$ può accadere che

i) $\sum_{i=1}^n x_i > 1$, quindi anche $\sum_{i=1}^{n+1} x_i > 1$, cioè $A \implies B$ è vera

ii) $\sum_{i=1}^n x_i < 1$

Se è vero il caso ii) necessariamente $x_i \in [0,1]$ (a dir la verità $x_i \in [0,1[$, ma vabe'...), e in tal caso può accadere che

j) $\sum_{i=1}^{n+1} x_i \ne 1$, ok

jj) $\sum_{i=1}^{n+1} x_i = 1 = \sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1}$, da cui $x_{n+1} = 1 - \sum_{i=1}^n x_i \in [0,1]$ perché $0 \le \sum_{i=1}^n x_i < 1$.

[G.D.]

Tipper, credo che con la tua osservazione sulla necessità di completare la tua dimostrazione, tu abbia mostrato che l'induzione fallisce.
Procedo con ordine.

Come già detto il Teorema di Sylvester-Gallai non si può dimostrare per induzione: il motivo sta nel fatto che l'ipotesi induttiva è costituita da una implicazione, e procedendo per induzione l'ipotesi induttiva non permette deduzioni.
D'altro canto il teorema secondo cui se $A$ è un insieme con $n$ elementi, allora l'insieme potenza $\wp(A)$ ha $2^{n}$ elementi si prova per induzione e anche in questo caso l'ipotesi induttiva è costituita da una implicazione, ma a differenza del caso precedente procedendo per induzione è possibile dedurre.
Le cose apparentemente cozzano. Di qui è nato il mio dubbio sul fatto in particolare che ho proposto.

E in questo caso non è possibile dedurre.

L'ipotesi induttiva è che $\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1 => \forall i, x_{i}\in [0;1]$ è una implicazione vera; dunque prendiamo $\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}=1$: è chiaro ed evidente che $1=\sum{i=1}^{n+1}x_{i}=x_{n+1} + \sum_{i=1}^{n}x_{i}$, ma a questo punto non sappiamo se è $\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1$ oppure è $\sum_{i=1}^{n}x_{i}!=1$ (e una circostanza esclude l'altra); in entrambi i casi l'ipotesi induttiva è vera, ma non possiamo dedurre che $\forall 1<=i<=n, x_{i}\in [0;1]$, appunto perché se fosse $\sum_{i=1}^{n}x_{i}!=1$, allora ex falso sequitur quodlibet. Quindi anche se si provasse che $x_{n+1} \in [0;1]$ resterebbe incompleta la prova, che andrebbe completata per casi, facendo fallire l'induzione perché l'ipotesi induttiva non avrebbe valore deduttivo.

Concordate?