gruppi ciclici e non ciclici

[deserto]

Sia $U_n$ l'insieme degli interi primi con $n$ con la moltiplicazione $mod n$.
Si provi che $U_n$ è un gruppo abeliano.
Si dimostri che $U_8$ non è un gruppo ciclico.
Si dimostri che $U_9$ è un gruppo ciclico e si determinino i suoi generatori.
In entrambi i casi precedenti ($n=8,9$) si determinino i seguenti gruppi: il centro di $U_n$ ed il centralizzante di ogni elemento di $U_n$ in $U_n$.
Si provi infine a formulare una congettura sugli interi $n$ per i quali $U_n$ è un gruppo ciclico.
(l'esercizio è un collage di esercizi tratti dal classico Hernstein)

Qualcuno potrebbe controllare la mia soluzione? Grazie.

Scrivo $U_n$ come $U_n={[m] in ZZ_n; (m,n)=1}$.
Se $[m], [k] in U_n$ allora $[mk] in U_n$ essendo $[m], [k] in ZZ_n$ e $(mk,n)=1$.
La proprietà associativa mi sembra evidentemente soddisfatta così come quella commutativa.
$[1] in ZZ_n$ è elemento neutro.
Poichè $(m,n)=1$ allora $EE a,b in ZZ$ tali che $am+bn=1$, quindi $[a]$ è l'inverso di $[m]$.

E' $U_8={[m] in ZZ_8; (m,8)=1}=${$[1],[3],[5],[7]$}
$U_8$ sarebbe ciclico se esistesse $[m] in U_8$ tale che $U_8=([m])$
Si ha: $[3]^1=[3], [3]^2=[1], [3]^3=[3]$, $[5]^1=[5], [5]^2=[1], [5]^3=[5]$, $[7]^1=[7], [7]^2=[1], [7]^3=[7]$ per cui $U_8$ non è ciclico.
Il centro di $U_8$ è $Z(U_8)={[a] in U_8; [a][m]=[m][a] AA [m] in U_8}=U_8$.
Similmente il centralizzante di $[m] in U_8$ è ${[x] in U_8; [x][m]=[m][x]}=U_8$

E' $U_9={[m] in ZZ_9; (m,9)=1}=${ $[1],[2],[4],[5],[7],[8]$}
Con facili calcoli si ha:
$[2]^1=[2], [2]^2=[4], [2]^3=[8], [2]^4=[7], [2]^5=[5], [2]^6=[1]$
ma anche
$[5]^1=[5], [5]^2=[7], [5]^3=[8], [5]^4=[4], [5]^5=[2], [5]^6=[1]$
per cui $U_9$ è ciclico e ha due generatori che sono $[2]$ e $[5]$; gli altri elementi di $U_9$ non sono generatori.
Anche qui il centro di $U_9$ è $Z(U_9)=U_9$ e il centralizzante di $[m] in U_9$ è $U_9$

Fino qui dovrebbe essere corretto
Ora si dovrebbe formulare una congettura sugli interi $n$ per i quali $U_n$ è un gruppo ciclico. Avete qualche idea? Sempre lo hernstein dice che $U_17, U_18, U_25, U_27$ sono ciclici mentre $U_20$ non lo è.

[vict85]

Per ora solamente una osservazione: dal momento che tu sapevi che $U_8$ e $U_9$ erano abeliani perché ti sei messo a calcolare centro e centralizzante di ogni elemento?
Non serve: in un gruppo abeliano il centro, e quindi anche il centralizzante di ogni elemento, coincide con il gruppo stesso.

[deserto]

Per ora solamente una osservazione: dal momento che tu sapevi che $U_8$ e $U_9$ erano abeliani perché ti sei messo a calcolare centro e centralizzante di ogni elemento?
Non serve: in un gruppo abeliano il centro, e quindi anche il centralizzante di ogni elemento, coincide con il gruppo stesso.

Giusta osservazione
nel post non ho riportato tutti i conti del calcolo del centro e del centralizzante, tuttavia ho preferito farmi i calcoli direttamente in alcuni casi specifici in quanto volevo "testare" questi due procedimenti che per me sono nuovi.

[NightKnight]

Sia $ZZ//mZZ ^** \ = \ U_m$ l'insieme degli elementi invertibili dell'anello $ZZ//mZZ$.
Allora si può dimostrare che $ZZ//mZZ ^**$ è ciclico se e solo se $m=2$ o $m=4$ o $m=p^n$ o $m=2p^n$, per qualche primo $p>=3$ e qualche intero $n>=1$.