irriducibilità

[Thomas]

ditemi una cosa...

come si vede che $1+x+x^2+x^3+x^4$ è irriducibile in $Z_7[x]$ ?

cioè come si vede che non abbia radici in $Z_7[x]$ l'ho capito (se ne avesse una diversa da $1$ sarebbe radice di $x^5-1$ e quindi un elemento di ordine (moltiplicativo) $5$, però non esistono elementi di tale ordine)...

ma l'irriducibilità è una cosa diversa... e provare a mano tutti i polinomi non mi sembra il caso...

[moxetto]

se non ha radici in $Z$7[x] vuol dire che non ha fattori lineari; quindi cerca, se esiste, una scomposizione di due polinomi di secondo grado!

[Thomas]

si certo... grazie del suggerimento... questa via si può seguire... viene fuori un sistema in cinque equazione da rielaborare ed alla fine ci si arriva...

credo però esista un metodo più facile: non è che si può sempre fare questi sistemoni è troppo dispendioso! (quella dovrebbe essere una parte infinitesima di un esercizio)

[Thomas]

qualche altra idea?

qualcuno sa se il problema: quando il polinomio $1+x+x^2+x^3+...+x^n$ è irriducibile in $Z_p$ si può affrontare in modo non brute force? (anche solo per p piccoli)