Sistemi di generatori di ideali

[Mondo]

Trovare se esiste un sistema di generatori con un numero minore di elementi per l'ideale $(2, x^2-1)$ incluso in $ZZ[x]$

[GreenLink]

Se quell'ideale fosse generato da un unico polinomio in $ZZ[x]$ questo polinomio dovrebbe dividere $2$ e $x^2-1$ perchè appartengono all'ideale. Gli unici divisori di $2$ sono $1,2$ e i loro opposti: $2$ e $-2$ non dividono $x^2-1$, quindi l'unico possibile generatore sarebbe $1$. In quel caso però l'ideale sarebbe tutto l'anello, il che è assurdo perchè ad esempio $x \notin (2,x^2-1)$.
Dunque l'ideale non è principale.