Successione definita per ricorrenza

[SickBoy88]

Ho questa successione definita per ricorrenza:
$a_n = -a_(n-1) + 2a_(n-2)$
Con
$a_0 = 8$
$a_1 = -1$
Per tutti gli $n>=2$

Ho definito i primi 4 termini della ricorrenza:
$a_2 = -(-1)+2(8)=17$
$a_3 = -17+2(-1)=-19$
$a_4 = -(-19)+2(17)=53$
$a_5 = -53+2(-19)=-91$

Devo poi dimostrare che se n è pari $a_n$ è positivo, se dispari allora $a_n$ è negativo.
Come posso procedere? Sono un tantino legato nelle dimostrazioni.. nn ci sono abituato
Avrei provato così.. ma temo non basti:

Considerando la successione $a_n = -a_(n-1) + 2a_(n-2)$
ed i termini iniziali:
$a_0 = 8$
$a_1 = -1$
supponiamo per assurdo che $n_2$ sia dispari, allora:
$a_2 = -(-1)+2(8)=17$
che è positivo e quindi $n_2$ è pari.

E' sbagliata, vero?

[Lord K]

Osserva che una successione è una funzione che assegna ad ogni naturale un valore in un altro insieme, qui:

$f:NN \to ZZ$

Allora la dimostrazione relativa alle proprietà della successione, genericamente passano per il principio di induzione.

[SickBoy88]

Ho provato ad applicare l'induzione:
suppongo $a_n$ pari
quindi $a_(n+1)$ dispari
e cerco di dimostrare che:
$a_(n+1) < -a_(n-1)+2a_(n-2)

$-a_(n0)+2a_(n-1)<-a_(n-1)+2a_(n-2)
$-a_(n0)+a_(n-1)-2a(n-2)<0

Sono in un vicolo cieco aiutino?
Grazie davvero per l'infinita pazienza.

[Lord K]

Allora:

Caso iniziale:

$a_0=8$
$a_1=-1$

quindi: $a_2=17$ e ci siamo.

Caso induttivo:

Sia $n$ pari:
$a_(n-2) >0$
$a_(n-1) <0$

allora:

$a_n=-a_(n-1)+2*a_(n-2)$

ma di certo:

$a_(n-1) < 0 Rightarrow a_n > 2*a_(n-2)$
$a_n > 2^((n)/2)*a_0$

e quindi è positivo.

Se invece $n$ è dispari:

$a_(n-1)>0$

quindi:

$a_n=-a_(n-1)+2*a_(n-2)$
$a_n<2*a_(n-2)$

ovvero:

$a_n<2^((n-1)/2)*a_1$

ovvero $a_n<0$. Tutto chiaro?

[SickBoy88]

Nella parte che si suppone n pari, come mai viene quel $2^(n/2)*a_0$?
Non riesco ad afferrare solo quel passaggio li..
Grazie ancora.

[Lord K]

Osserva che:

$a_n > 2*a_(n-2) > 2*2*a_(n-4) > 2*2*2*a_(n-6) >...>2^(n/2)a_0$

[SickBoy88]

Aaaaah! Ora capisco!

[silvano38]

La risposta al quesito si può avere facilmente dalla teoria delle differenze finite ( a coefficienti costanti).
L'equazione caratteristica associata è:
$lambda^n+lambda^(n-1)-2lambda^(n-2)=0$ ovvero scartando la soluzione $lambda=0$
$lambda^2+lambda-2=0$ le cui radici sono $lambda_1=-2,lambda_2=1$
Pertanto la soluzione generale è:
$a_n=C_o*(-2)^n+C_1*(1)^n$
Imponendo le condizioni iniziali si trova $C_o=3,C_1=5$ e quindi risulta infine:
$a_n=3*(-2)^n+5$
Da qui è facile verificare che $a_n>0$ per n pari e $a_n<0$ per n dispari.