Unità $Z[sqrt(5)]$

[thedarkhero]

Come si trovano le unità di $Z[sqrt(5)]$?
Io credo che sia solo 1 ma non ne sono sicuro...

[alberto86]

forse vuoi dire gli invertibili?

[thedarkhero]

No, intendo proprio le unità

[NightKnight]

Sono la stessa cosa..

[thedarkhero]

Vero...ad ogni modo come si trovano?

[irenze]

Sono la stessa cosa..

A quel che ricordo io, gli invertibili sono quegli elementi $g$ tali che esiste $g^(-1)$ nell'anello (per esempio in $\ZZ$ gli invertibili sono $\pm 1$, in $\QQ$ sono tutti gli elementi), mentre le unità sono quegli elementi $u$ che moltiplicati per un qualunque elemento $g$ restituiscono $g$ stesso: $g * u = u * g = g$ (per esempio sia in $\ZZ$ che in $\QQ$ l'unità è $1$). È questo che intendevi per unità, thedarkhero?
In tal caso l'unità è sempre unica: infatti prese due di esse, $u$ ed $e$ si ha $u * e = e$ perché $u$ è un'unità, e $u * e = u$ perché $e$ è un'unità, e quindi $e = u * e = u$.

[thedarkhero]

Ok quindi in questo caso si ha $u=1+0sqrt(5)$?

[NightKnight]

Negli anelli $ZZ[sqrt(m)]$, con $m in NN^+$ libero da quadrati,
si definisce norma l'applicazione $N:ZZ[sqrt(m)] -> NN \ , \ a+b sqrt(m) |-> a^2 +b^2m$
e si definisce coniugio l'applicazione $C : ZZ[sqrt(m)] -> ZZ[sqrt(m)] \ , \ a+b sqrt(m) |-> bar(a+b sqrt(m))=a-b sqrt(m)$.
Verifica che:
1) $N(alpha)=alpha bar(alpha)$
2) $C$ è un omomorfismo di anelli
3) l'insieme degli invertibili è l'insieme degli elementi di norma $+-1$.

Prova ad applicare quello che ti ho detto al tuo caso..

[thedarkhero]

Questo cosa c'entra con la ricerca dell'unità?

[fu^2]

rileggi quello che dice NightKnight: unità=invertibili=elementi con norma uno.