Ho fatto diversi errori, quindi riparto da capo e poi scrivo la soluzione al problema di thedarkhero.
Notazione: per un anello $A$, indico con $A ^**$ il gruppo degli elementi invertibili di $A$.
Negli anelli $ZZ[sqrt(m)]$, con $m in NN, m>=2$ libero da quadrati,
si definisce norma l'applicazione $N:ZZ[sqrt(m)] -> ZZ \ , \ a+b sqrt(m) |-> a^2 - b^2m$
e si definisce coniugio l'applicazione $C : ZZ[sqrt(m)] -> ZZ[sqrt(m)] \ , \ a+b sqrt(m) |-> bar(a+b sqrt(m))=a-b sqrt(m)$.
Si dimostra che:
1) $forall alpha in ZZ[sqrt(m)], \ N(alpha)=alpha bar(alpha)$
2) $C$ è un omomorfismo di anelli
3) $forall alpha, beta in ZZ[sqrt(m)], \ N(alpha beta)=N(alpha) N(beta)$
4) l'insieme degli invertibili è l'insieme degli elementi di norma $+-1$.
1),2),3) sono di facile verifica. Dimostriamo 4):
$ZZ[sqrt(m)] ^** = {a+b sqrt(m) in ZZ[sqrt(m)] | a,b in ZZ, \ a^2 - b^2 m = +-1}$.
$subseteq$: sia $alpha in ZZ[sqrt(m)]$ invertibile, allora esiste $beta in ZZ[sqrt(m)]$ tale che $alpha beta = 1$, allora prendo le norme e grazie a 3) ottengo $N(alpha) N(beta) = N(alpha beta) = N(1) = 1$, quindi $N(alpha) in ZZ ^**$ è un invertibile di $ZZ$, perciò può essere o $1$ o $-1$.
$supseteq$: sia $alpha in ZZ[sqrt(m)]$ con norma $N(alpha)=+-1$, allora faccio vedere che $bar(alpha)$ o $-bar(alpha)$ è un inverso di $alpha$, infatti:
se $N(alpha)=1$ si ha, per 1), $alpha bar(alpha) = N(alpha) = 1$
se $N(alpha)=-1$ si ha $alpha (-bar(alpha)) = -(alpha bar(alpha)) = - N(alpha) = 1$. QED
Il problema è quindi stabilire per quali $a,b in ZZ$ vale $a^2 - b^2 m = +-1$.
Ora veniamo al tuo caso $ZZ[sqrt(5)]$: $ZZ[sqrt(5)] ^** = {alpha in ZZ[sqrt(5)] | N(alpha)=+-1}$
Sia
$gamma = 2+sqrt(5) in ZZ[sqrt(5)]$. Si vede che $N(gamma)=-1$, quindi $gamma in ZZ[sqrt(5)] ^**$.
Anche $ -1 in ZZ[sqrt(5)] ^**$ perché $N(-1)=-1$.
Ora voglio far vedere che $ZZ[sqrt(5)] ^** = {+-gamma^m in ZZ[sqrt(5)] | m in ZZ} = \ <-1,gamma>$, cioè che il gruppo degli invertibili di $ZZ[sqrt(5)]$ è generato dagli elementi $-1,gamma$.
L'inclusione $supseteq$ è ovvia. Quindi basta mostrare $subseteq$.
Osservo che $ZZ[sqrt(5)] subset RR$, quindi tutti gli elementi di cui stiamo parlando sono reali.
Asserto
5) Se $alpha in ZZ[sqrt(5)] ^**$ e $alpha > 1$ allora $alpha >= gamma$.
Dim: sia $alpha = a + b sqrt(5) in ZZ[sqrt(5)] ^**$ e $alpha > 1$. Allora $N(alpha) = +-1$.
- Supponiamo che $N(alpha)=1$; allora, come osservato nella dimostrazione di 4), $bar(alpha)$ è l'inverso di $alpha$, allora $bar(alpha)=1/alpha$, e siccome $alpha > 1$, si deve avere $0 < bar(alpha) < 1$: cioè
$a+b sqrt(5) > 1 \ , \ 0<a - b sqrt(5) < 1$ da cui $1-b sqrt(5) < a < 1 + b sqrt(5)$ e quindi $-b sqrt(5) <b sqrt(5)$ cioè $b>0$ ossia $b >= 1$; d'altra parte $sqrt(5) > 2$, quindi $0 < bar(alpha) = a - b sqrt(5) <= a - sqrt(5) < a -2$ quindi $a>2$. Dunque, se $a>2,b>=1$ ottengo $alpha=a+b sqrt(5)>=2+sqrt(5)=gamma$.
-Supponiamo ora che $N(alpha)=-1$; allora, come osservato in 4), $-bar(alpha)=1/alpha$, e siccome $alpha>1$ si deve avere $-1 < bar(alpha) < 0$: cioè
$a+b sqrt(5) > 1 \ , \ -1<a-b sqrt(5) < 0$ da cui $1-a < b sqrt(5) < 1+a$ e allora $1+a > 1-a$ ossia $a>0$ e quindi $a>=1$; d'altra parte $0 > bar(alpha) = a - b sqrt(5) >= 1 - 2b$ quindi $b>1/2$ e quindi $b>=1$. Inoltre da $a+b sqrt(5) > 1$ si ha $a > b sqrt(5) - 1 >= sqrt(5) - 1 > 1,2$ e allora $a>=2$; da $a>=2 \ , \ b>=1$ segue che $alpha = a + b sqrt(5) >= 2 + sqrt(5) = gamma$. QED
Asserto
6) Se $alpha in ZZ[sqrt(5)] ^**$ e $alpha >1$ allora esiste $n in NN$ tale che $alpha = gamma^n$.
Dim: sia $alpha in ZZ[sqrt(5)] ^** \ , \ alpha >1$; osservo che $gamma > 1$, quindi la successione ${alpha/gamma^k}_(k in NN)$ tende a zero per $k$ che tende a $+oo$. Quindi esiste $h in NN^+$ tale che $alpha/gamma^h < 1$.
Allora ora prendo $k=min{h in NN^+ | alpha/gamma^h < 1}$. Poichè $k$ è il minimo si deve avere: $alpha/gamma^k < 1 \ , \ alpha/gamma^(k-1) >= 1$.
Ora faccio vedere che non può essere $alpha/gamma^(k-1) > 1$: suppongo per assurdo che $alpha/gamma^(k-1) > 1$; osservo che $ZZ[sqrt(5)] ^**$ è un gruppo e che $alpha,gamma in ZZ[sqrt(5)]^**$, quindi anche $alpha/gamma^(k-1) in ZZ[sqrt(5)] ^**$ e $alpha/gamma^(k-1) > 1$, allora per l'asserto 5) avrei $alpha/gamma^(k-1) >= gamma$, dunque $alpha/gamma^k >= 1$ che è assurdo perché $alpha/gamma^k < 1$.
Quindi non potendo essere $alpha/gamma^(k-1) > 1$, si dovrà avere $alpha/gamma^(k-1) = 1$ cioè $alpha=gamma^(k-1)$; e quindi la tesi dell'asserto 6) segue prendendo $n=k-1$. QED
Asserto
7) Se $alpha in ZZ[sqrt(5)] ^**$ e $alpha != +-1$ allora esistono $p in NN \ , \ h in {+-1}$ tali che $(-1)^p alpha^h in ZZ[sqrt(5)] ^**$ e $(-1)^p alpha^h > 1$.
Dim: La tesi equivale a: almeno uno tra i quattro numeri $alpha, 1/alpha, -alpha, - 1/alpha$ sta in $ZZ[sqrt(5)] ^**$ ed è maggiore di $1$. Si dimostra facilmente che tutti e quattro i numeri scritti stiano in $ZZ[sqrt(5)] ^**$. E ovviamente se $alpha != +-1$ esattamente uno tra quelli è maggiore di $1$. QED
Asserto
8) $ZZ[sqrt(5)] ^** subseteq {+- gamma^m | m in ZZ}$
Dim: Sia $alpha in ZZ[sqrt(5)] ^**$.
Se $alpha = +-1$: ok, perché $alpha = +-1 = +- gamma^0$.
Supponiamo ora $alpha != +- 1$; per 7) esistono $p in NN \ , \ h in {+-1}$ tali che $(-1)^p alpha^h in ZZ[sqrt(5)] ^**$ e $(-1)^p alpha^h > 1$.
Ora applico 6) a $(-1)^p alpha^h$: esiste $n in NN$ tale che $(-1)^p alpha^h = gamma^n$.
Dunque $alpha^h = (-1)^p gamma^n$ per qualche $h in {+-1} \ , \ p in NN \ , \ n in NN$.
Se $h=1$ ho $alpha = (-1)^p gamma^n$
Se $h=-1$ ho $alpha = (-1)^(p+1) gamma^n$. QED
In conclusione:
$ZZ[sqrt(5)] ^** = {a+b sqrt(5) in ZZ[sqrt(5)] | a,b in ZZ \ , \ a^2 - 5 b^2 = +-1} = {+- (2+sqrt(5))^m in ZZ[sqrt(5)]| m in ZZ}$.
Spero di non aver commesso errori...
