Esercizi combinatoria

da **SickBoy88** » 07/01/2009, 10:41

Sto cercando di capire la combinatoria.. ed ho preso un esercizio da un vecchio compito.. eccolo qua:
Siano:
$NN_15={x in NN | 1<=x<=15}$
$NN_20={x in NN | 1<=x<=20}$

si chiede:
a) Quante sono le funzioni $f:NN_15 to NN_20$ che mandano elementi pari di $NN_15$ in elementi pari di $NN_20$?
b) Quante sono le funzioni iniettive $f:NN_15 to NN_20$ che mandano elementi pari di $NN_15$ in elementi pari di $NN_20$?
c) Quante sono le funzioni $f:NN_15 to NN_20$ che mandano almeno un elemento pari di $NN_15$ in un elemento dispari di $NN_20$?

Io ho provato a ragionarci... ditemi voi:

a)
$NN_15$ ha 7 elementi pari
$NN_20$ ha 10 elementi pari
Le funzioni sono quindi $10^7$

b)
7!

c)
Non lo so...

da **adaBTTLS** » 07/01/2009, 13:54

prova prima a correggere i primi due.
in a) $10^7$ va moltiplicato per $20^8$, se ho ben capito l'esercizio: anche i dispari contribuiscono a "distinguere" le varie funzioni.
in b) le scelte non partono dal dominio e quindi da 7 ma dal codominio e quindi da 10: ci va il "fattoriale decrescente", sempre poi moltiplicato per un altro fattore che dipende dai dispari... spero sia chiaro.
prova e poi ci risentiamo più tardi. ciao.

da **SickBoy88** » 07/01/2009, 15:27

Allooora.. vediamo:

Il punto A sarebbe quindi:
$10^7*20^8$

il punto B invece:
$10!*(10)_8$ ovvero $10!*(10*9*8*7*6*5*4*3)$

E' corretto?

da **adaBTTLS** » 07/01/2009, 16:36

A sembrerebbe OK.
per B non sono certa, ma di primo acchito direi $(10)_7*(13)_8$. controlla.
per convincerti puoi provare con numeri più piccoli. ciao.

da **SickBoy88** » 07/01/2009, 17:24

Non riesco a capire perchè...

da **adaBTTLS** » 07/01/2009, 19:08

$(10)_7$ penso sia chiaro: bisogna associare i 7 elementi pari di $NN_15$ a 7 dei 10 elementi pari di $NN_20$. rimangono 3 elementi pari e 10 elementi dispari di $NN_20$ (in totale 13 elementi) che devono essere associati agli 8 elementi dispari di $NN_15$. ti torna?

da **SickBoy88** » 08/01/2009, 09:08

Si, ora ho capito. Grazie

da **adaBTTLS** » 08/01/2009, 15:49

prego.
ora è facile rispondere alla c). [anche senza i ragionamenti complicati della b)]. prova a scrivere il risultato!

da **SickBoy88** » 08/01/2009, 16:05

La risposta delle C non è forse simile a quella della A?
Segue lo stesso ragionamento.. praticamente chiede quante sono le funzioni che mandano elementi pari in elementi dispari..
verrebbe uguale in pratica..
$10^7*20^8$
Mamma mia come mi ci incasino..

da **adaBTTLS** » 08/01/2009, 16:48

ha certamente a che fare con la A, ma non è uguale!
se dice che almeno un elemento pari del primo insieme va in un elemento dispari del secondo vuol dire che si tratta di tutte le funzioni tranne quelle del caso A.
non è così? riflettici un po' e fammi sapere.
se è così, la risposta dovrebbe essere $20^15-10^7*20^8=20^8*(20^7-10^7)$

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