Divisione tra polinomi.. (al denominatore ho t^4)

[Rock Drummer]

Salve gente...
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:

P:S Mi scuso per la scrittura...

Integrale tra 0 e +oo

I= dx / (cos^2hx + 1)

(dx/coseno iperbolico al quadrato + 1)

Ho sostutuito al posto di 1 (al denominatore) la relazione fondamentale cioè cos^2hx - sen^2hx...
Poi ho posto e^x=t...

Insomma alla fine mi viene fuori:

I= 4t / (t^4 +6t^2 +1) Poi ho raccolto al denominatore t^2 e cioè:

I= 4t / (t^2(t^2 + 6)+1)

Come faccio a fare la divisione tra polinomi??? Al denominatore perchè non ho la classica equazione ax^2+bx+c=0...

Grazie delle risposte in anticipo.

[deserto]

Ciao
potresti scrivere le formule in modo comprensibile? In modo da poterti aiutare

[@melia]

Per scrivere correttamente le formule basta guardare qui, vedo che usi già una simbologia abbastanza corretta alla quale basta solo aggiungere il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine.

[silvano38]

La divisione non si può fare dato che il numeratore ha grado minore del denominatore ma
puoi osservare che :
$t^4+6t^2+1=t^4+6t^2+9-8=(t^2+3)^2-(2sqrt2)^2=(t^2+3-2sqrt2)(t^2+3+2sqrt2)$
Alla fine ,tenuto conto che l'integrando è funzione dispari rispetto a t,si ha la scomposizione:
$t/(t^4+6t^2+1)=(At)/(t^2+3-2sqrt2)-(At)/(t^2+3+2sqrt2)$
Da qui trovi la costante A e poi prosegui con metodi conosciuti.Al momento non vedo alternative
più convenienti.
P.S.
A me risulta $A=(sqrt2)/8$ ,salvo possibili errori...

[Ska]

E' ovvio che la divisione non la puoi fare, dato che il numeratore ha grado inferiore del denominatore.

Nella penultima forma in cui l'hai scritto avresti (l'estremo di integrazione cambia per la sostituzione)

$\int_1^{+\infty} \frac{4tdt}{t^4 + 6t^2 +1}$

Al denominatore hai una biquadratica, quindi con una ulteriore sostituzione $z=t^2$ risulta

$\int_1^{+\infty} \frac{2dz}{z^2 + 6z +1}$

Per risolvere questo integrale è necessario fare la decomposizione in fratti semplici della frazione, quindi dato che il denominatore si può scrivere come $(z + 3 + \sqrt{2})(z + 3 - \sqrt{2})$, voglio poter scrivere la frazione nella forma:

$\frac{A}{z + 3 +\sqrt 2} + \frac{B}{z +3 - \sqrt2}$

Che sono facilmente integrabili poichè le primitive sono dei logaritmi naturali.

Per trovare $A,B$ basta rieseguire il denominatore comune e scrivere tutto come frazione unica e imporre l'uguaglianza tra il numeratore della frazione di partenza, in questo caso $2$ e quello che ottieni ovvero $(A+B)z + A(3-\sqrt 2) + B (3 + \sqrt 2)$, da cui si origina il sistema di due equazioni:
$A+B = 0$ perchè non c'è nessun termine di primo grado
$A(3-\sqrt 2) + B (3 + \sqrt 2) = 2$

Risolvendo questo si trovano $A, B$ e quindi si risolve l'integrale.

Dato che la prima equazione è $A+B = 0$ si deduce che $B = -A$ quindi ci sarà una differenza tra le primitive, in questo caso logaritmi e quindi per le proprietà dei logaritmi si può scrivere un unico logaritmo dato dal quozionte, e in questa forma non si ha nessuna forma indeterminata per $z \rightarrow +\infty$ che quindi porta ad un integrale convergente come ci si aspettava.

[Rock Drummer]

ok grazie...

$\int_{0}^{\pi/2} log(tgx) dx$

Come si ricsolve il seguente integrale?
sostituisco tgx=t?