Algebra: due esercizi importanti

[maria60]

Chiedo aiuto per risolvere i seguenti problemi :

Dati V=((x,y,z,t)/x+y-z+2t=2x+3y+z-t=0) e W=((x,y,z,t)/x-2y+z+3t=0) di R^4 , determinare:

a) una base di V intersecato W
b) una base di V+W





Siano V=(x.y,z,t)/2x-y+z-t=0) e W generato dai vettori (1,-2,1,0),(2,0,1,1),(1,2,0,0) sottospazi di R^4. Determinare dim V+W e una base di V+W.

Grazie per l'attenzione.

[maria60]

Ti spiego (scusa stavolta per le formule): ho trovato una base di V e una di W ottenendo 5 vettori ho sritto la matrice e ho cercato di ridurre a scalini (senza riuscirvi).Trovata la base, trovo la dimensione di V $nn$ W ma come trovo poi tale base (di $VnnW$) ,considerando le tre equazioni insieme?Avrò un sistema di tre equazioi in 4incognite che faccio? Nel secondo esercizio trovo una base di V ,faccio la matrice con i generatori del secondo ,trovo i vettori indipendenti e quindi la base ,ma perchè nella traccia mi chiede prima di trovare la dimensione, non la devo dedurre dopo? In cosa sbaglio?

[maria60]

Ho trovato per il primo spazio V (primo esercizio) ,prendendo nel sistema t e z libere,(4,-3,1,0),(-7,5,0,1) per W, prendendo x in funzione delle altre varibili e ponendo y=1,z=o,t=0 ......ho trovato (-2,1,0,0),(-1,0,1,0),(-3,0,0,1), ho considerato la matrice

$((4,-3,1,0),(-5,7,0,1),(-2,1,0,0),(-1,0,1,0),(-3,0,0,1))$


non sono riusciuta ad andare avanti.

[maria60]

Se non ho fatto errori ho ottenuto la matrice

$((3,0,0,1),(0,-3,5,O),(0,0,17,-17/3),(0,0,0,4/17),(0,0,0,0))$, quindi la dim di V+W è 4 e le righe diverse da zero mi danno una base ? Dalla formula di Grassaman ricavo che dim di $VnnW$ è 5-4 =1, ma come trovo la base di $VnnW$?

[maria60]

Ti ringrazio sempre, ma serei curiosa di sapere quale procedimento hai seguito per risolvere il sistema e calcolare il determinante, inoltre,potresti consigliarmi un buon testo sia per la teoria che sto imparando qua e là che per gli esercizi . Ciao

[Tommy86]

Ciao a tutti sono nuovo del forum... mi stavo guardando un pò di esercizi, e su questo mi è sorto un dubbio:
praticamente è stato fatto ciò:
-vengono determinate le 2 basi dei sottospazi V e W
-vengono messi i vettori delle basi in un unica matrice che viene ridotta a gradini.
-Le righe indipend formano una base del sottosp somma (V+W), mentre quelle dipend una del sottosp intersezione

il problema è questo, quali righe vengono prese per queste ultime 2 basi? cioè la matrice durante la riduzione subisce varie modifiche, tra cui scambi di riga.
Praticamente devo fare un ragionarmento a ritroso risalendo alle righe corrispondenti della matrice iniziale?

RINGRAZIO anticipatamente per l'aiuto fornito.

[Tommy86]

Scusa sergio, non mi sono espresso bene... volevo capire se per l'intersezione è obbligatorio trovare le soluzioni del sistema composto dalle equazioni che definiscono gli spazi V e W. In quanto leggendo il tuo post, avevo capito ci fosse un altro modo:

Non è difficile: basta trovare una base per V ed una per W.
Una base di V+W si trova vedendo quanti e quali degli elementi dell'unione delle due basi sono linearmente indipendenti.
Una base di V∩W si trova... per differenza.

l'ho interpretato male?
Grazie per l'aiuto