sottogruppo normale

[deserto]

Se $H$ è un sottogruppo di $G$, sia $N(H)={g in G | gHg^(-1)=H}$.
Dimostrare che:
a) $N(H)$ è un sottogruppo di $G$.
b) $H$ è normale in $N(H)$.
c) Se $H$ è un sottogruppo normale del sottogruppo $K$ di $G$, allora $K sub N(H).
d) $H$ è normale in $G$ se e soltanto se $N(H)=G$.


Vi chiederei di controllare la mia soluzione perchè, essendomi venuto subito l'esercizio, non vorrei avere forzato qualche passaggio.
Dunque
a) Si deve provare che dati $a,b in N(H)$ si ha $a^(-1), ab in N(H)$.
Infatti: $a in N(H) => aHa^(-1)=H$ da cui subito: $H=a^(-1)H(a^(-1))^(-1)$ da cui $a^(-1) in N(H)$; siano $a,b in N(H)$, $AA k in H$ è $(ab)k(ab)^(-1)=abkb^(-1)a^(-1)$, $EE t,r in H$ tali che $abkb^(-1)a^(-1)=ata^(-1)=r$ quindi anche $ab in N(H)$.

b) Essendo $AA h in H$ $hHh^(-1)=H$ è $H sub N(H)$ da cui segue anche che $H$ è un sottogruppo di $N(H)$. Sia ora $g in N(H) => AAk in H EE k^' in H$ tale che $gkg^(-1)=k^'$ da cui la normalità.

c) Sia $k in K => AA h in H$ si ha $khk^(-1) in H$ eesendo $H$ un sottogruppo normale di $K$, $=> EE h^' in H$ tale che $khk^(-1)=h^' => kHk^(-1)=H => k in N(H)$.

d) $rArr:$ supponiamo che $H$ sia normale in $G$ $AA g in G$ si ha $gHg^(-1)=H$ e pertanto $G sub N(H)$.
$lArr:$ se $N(H)=G$ si conclude subito applicando il punto b).


A questo punto volevo costruirmi un esempio pratico.
$S_3$ col suo sottogruppo $H$ di ordine $3$ andrebbe bene, perchè so, per un esercizio che ho precedentemente postato, che essendo questo sottogruppo di indice $2$ in $S_3$, allora il sottogruppo in questione è normale in $S_3$. In tale caso ho $N(H)=S_3$ per il punto d) del presente esercizio.
Ma vorrei anche trovarmi un esempio in cui si abbia $N(H)!=G$. Avrei pensato al gruppo delle matrici invertibili $2x2$, ma non saprei come scegliere $H$.
Oppure tenendo $S_3$ potrei prendere il suo sottogruppo di ordine $2$.
Suggerimenti?
Grazie ancora

[vict85]

a) Puoi usare direttamente il test $ab^(-1)$. In ogni caso per il negativo puoi semplicemente fare il passaggio $a^(-1)Ha = (aHa^(-1))^(-1) = H^(-1) = H$. Ma non mi pare ci siamo errori (o guardato velocemente comunque).

b) Hai fatto dei passaggi inutili... Dopo aver dimostrato che è un sottogruppo bastava dire che per definizione di $N(G)$, per ogni $a in N(G) aHa^(-1) = H$, che è la condizione di normalità, e quindi $H$ è normale in $N(G)$

c) Dovresti usare di più gli insiemi. Il fatto è che se $H$ è normale in $K$ per ogni $k in K$ si ha che $kHk^(-1) = H$, ma un elemento con questa caratteristica è in $N(G)$ per definizione e quindi $K \subset N(G)$

d) Per dimostrare $rArr$ potevi anche usare il punto c


In ogni caso in generale sono giusti.