Esercizio polinomi $ZZ_p[x] $

[Thomas]

anyway la (bella!) soluzione di LordK richiede anche di distinguere i casi $\alpha=\beta$, $\alpha=1$, $\beta=1$ che fanno diminuire la cardinalità dell'insieme $H$ (e portano al caso p=3)... chi la scrive completa?

[Lord K]

Effettivamente cerchiamo il campo di spezzamento di $x^2+x+1$. Faccio un pochi di conti:

$x^2+x+1 \equiv 0(p)$
$(x+2_p^(-1))^2 \equiv [2]_p^(-2)-1 (p)$

da cui mediante il simbolo di Legendre siccome $([2]_p^(-2)-1) = [2]_p^(-2)*3$

$(([2]_p^(-2)-1)/p) = (([2]_p^(-1))/p)^2 * (3/p) = (3/p)$

Ora usiamo la legge di reciprocità quadratica:

$(3/p) = (p/3)*(-1)^((p-1)/2*(3-1)/2) = (p/3)*(-1)^((p-1)/2) = (-1)^((p-1)/2) (3)$

Da qui $(3/p) \equiv 1(3)$ se $p\equiv 1(4)$.

Che ne dite? Prego ovviamente ricontrollare!

[Lord K]

anyway la (bella!) soluzione di LordK richiede anche di distinguere i casi $\alpha=\beta$, $\alpha=1$, $\beta=1$ che fanno diminuire la cardinalità dell'insieme $H$ (e portano al caso p=3)... chi la scrive completa?

Caso 1) $alpha = beta$:

$alpha = 1-beta$
$2alpha = 1$

allora $H=Z_p$.

Caso 2) $alpha = 1$:

$0 = 1-beta$
$beta = 1$

Caso 3) $beta = 1$:

simile al caso 2.

[Thomas]

LordK ma perchè non hai concluso col tuo metodo senza scomodare legendre? faccio il caso $\alpha$ diverso da $\beta$

una volta che detto che $H$ è un sottogruppo di $Z_p*$, hai che la cardinalità di $H$, ovvero $3$, divide quella di $Z_p*$, ovvero $p-1$, da cui $p==1$ mod 3...

c'è poi da terminare con il caso $\alpha=\beta$

ps: ora provo a guardare anche quella con legendre che sembra cmq interessante!

[Lord K]

Mi pare però sbagliata a conti (migliori) fatti.... meglio che ci mediti su!