da Lord K » 12/01/2009, 16:03
Effettivamente cerchiamo il campo di spezzamento di $x^2+x+1$. Faccio un pochi di conti:
$x^2+x+1 \equiv 0(p)$
$(x+2_p^(-1))^2 \equiv [2]_p^(-2)-1 (p)$
da cui mediante il simbolo di Legendre siccome $([2]_p^(-2)-1) = [2]_p^(-2)*3$
$(([2]_p^(-2)-1)/p) = (([2]_p^(-1))/p)^2 * (3/p) = (3/p)$
Ora usiamo la legge di reciprocità quadratica:
$(3/p) = (p/3)*(-1)^((p-1)/2*(3-1)/2) = (p/3)*(-1)^((p-1)/2) = (-1)^((p-1)/2) (3)$
Da qui $(3/p) \equiv 1(3)$ se $p\equiv 1(4)$.
Che ne dite? Prego ovviamente ricontrollare!
"La realtà è una invenzione di chi ha dimenticato come si sogna!" C.M.
"Le domande non sono mai stupide, esprimono dei nostri dubbi, solo le risposte possono esserlo!" Un saggio.