leone81 ha scritto:Ciao Lord K,
approfitto della tua disponibilità ... potresti provare a risolvere questa equazione o, almeno, spiegarmi come la risolveresti? io c'ho provato, ma non ci riesco
L'equazione è $x^2 - 164x + 71 = 0 mod(253)$.
Grazie mille.
ciao
Seguo il ragionamento sopra:
Osserviamo che $GCD(253,2)=1$
$x^2 - 2*82x+ 82^2-82^2+71 \equiv 0(253)$
$(x-82)^2 \equiv 6653(253)$
$(x-82)^2 \equiv 75(253)$
ora sappiamo che $253 in P$ con $P$ insieme dei primi. Calcoliamo allora il simbolo di Legendre per vedere se è un residuo quadratico:
$(75/253) = (15/253)*(5/253) = (3/253)*(5/253)*(5/253) = (3/253) $
Da qui legge di reciprocità quadratica:
$(3/253) =(253/3)*(-1)^((253-1)/2*(3-1)/2) = (253/3) = 1$
Quindi abbiamo di certo soluzione al problema.
Con un bel poco di conti (sostanzialmente tentativi) vedo che le soluzioni di $delta^2 \equiv 3 (253)$ sono $4$:
${(x_1=16),(x_2=39),(x_3=214),(x_4=237):}$
allora:
$(x-82)^2 \equiv (x_i)^2*5^2(253)$
la prima genera:
$(x-82)^2 \equiv (16*5)^2(253)$
${(x-82 \equiv 80 (253)),(x-82 \equiv -80 (253)):} Rightarrow {(x \equiv 162 (253)),(x\equiv 2 (253)):} $
la seconda:
$(x-82)^2 \equiv (39*5)^2(253)$
${(x-82 \equiv 195 (253)),(x-82 \equiv -195 (253)):} Rightarrow {(x \equiv 24 (253)),(x\equiv -113(253)):} $
la terza e la quarta le rigenerano infatti $-39\equiv 214(253)$ e $-16\equiv237(253)$
Soluzioni al problema principale:
${(x \equiv 162 (253)),(x\equiv 2 (253)),(x \equiv 24 (253)),(x\equiv -113(253)):}$
Verifico:
$162^2-164*162+71 = -2*162+71 = -324+71=-253 \equiv 0(253)$
$2^2-164*2+71 = -162*2+71 =-253 \equiv 0(253)$
$24^2 - 164*24 + 71 = -24*140 +71 = -3289 = -253*13 \equiv 0(253)$
$(-113)^2 - 164*(-113) + 71 = 113*277+71 = 31372 = 253*124 \equiv 0(253)$
e quindi decisamente ci siamo... puff...puff...pant....pant...
"La realtà è una invenzione di chi ha dimenticato come si sogna!" C.M.
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