Campo di spezzamento e gruppo di Galois

[gygabyte017]

Trovare il campo di spezzamento e il gruppo di galois di $x^4+1=0$.

Ora, è vero che il campo è $QQ(sqrt i, sqrt(-i))$ visto che i numeri $+-sqrt(+-i)$ sono le radici di quel polinomio?

E' vero che il grado dell'estensione è 8?

E' vero che il gruppo di galois sono i quaternioni?

Chi sono gli automorfismi (esplicitamente)?

Grazie!

[NightKnight]

Il polinomio $X^4 +1$ è il polinomio ciclotomico di ordine 8 su $QQ$; quindi:
- il campo di spezzamento su $QQ$ è $QQ(zeta_8)$ dove $zeta_8$ è una radice ottava primitiva dell'unità in $CC$, ad esempio $e^((2 pi)/8) = sqrt(2)/2 + i sqrt(2)/2$.
- il gruppo di Galois di questa estensione è isomorfo a $ZZ//8ZZ ^**$, il quale è a sua volta isomorfo a $ZZ//2ZZ times ZZ//2ZZ$

[gygabyte017]

Grazie per la risposta, ho dei dubbi:

1) Se non mi fossi accorto che era l'ottavo polinomio ciclotomico, come sarei potuto arrivare alle stesse conclusioni conoscendo solo le 4 radici?

2) Se $xi$ è una radice n-esima dell'unità primitiva, non valeva il fatto che $[QQ(xi):QQ]=varphi(n)$ dove $varphi(n)$ è la funzione di eulero, e in questo caso $varphi(8)=4$?

[vict85]

Allora, consideriamo il polinomio riducibile $p(x) = X^8-1 = (x^4+1)(x^4-1)$.
In $CC$ il polinomio $p(x)$ è scomposto nei seguenti fattori lineari $p(x) = prod_(i=0)^7(x+w_8^i)$ dove $w_8$ è la radice ottava dell'unità. Uguagliando le due scomposizioni di $p(x)$ si vede che $(x^4+1) = (x+w_8)(x+w_8^3)(x+w_8^5)(x+w_8^7)$. Dato che $QQ(w_8)$ contiene già tutte le potenze di $w_8$, contiene in particolare tutte le radici di $x^4+1$ ed é quindi il suo campo di decomposizione. Quindi $QQ(w_8) = QQ[X]//(x^4+1)$ e $[ QQ(w_8) : QQ ] = 4$

Lo so che è controintuitivo pensare che il polinomio minimo di una radice $8°$ dell'unità è un polinomio di grado $4$ ma d'altra parte il polinomio $x^8+1$ non è un polinomio irriducibile.

Il gruppo di galois ovviamente non è il gruppo dei quaternioni.

Vediamo gli automorfismi (sono completamente determinati dall'immagine di $w_8$).

l'identità
$w_8 \mapsto w_8^3$ e quindi $w_8^3 \mapsto w_8$, $w_8^5 \mapsto w_8^7$, $w_8^7 \mapsto w_8^5$
$w_8 \mapsto w_8^5$ e quindi $w_8^3 \mapsto w_8^7$, $w_8^5 \mapsto w_8$, $w_8^7 \mapsto w_8^3$
$w_8 \mapsto w_8^7$ e quindi $w_8^3 \mapsto w_8^5$, $w_8^5 \mapsto w_8^3$, $w_8^7 \mapsto w_8$

Se ordini gli elementi per indici puoi considerare il gruppo degli automorfismi isomorfo a questo $\{ e, (13)(57), (15)(37), (17)(35) \}$. Se ricordi un minimo di teoria dei gruppi non ti dovrebbe essere difficile riconoscere questo gruppo, d'altra parte ci sono solamente, a meno di isomorfismi, due gruppi di ordine $4$: questo e il gruppo ciclico.

[vict85]

Il polinomio $X^4 +1$ è il polinomio ciclotomico di ordine 8 su $QQ$; quindi:
- il campo di spezzamento su $QQ$ è $QQ(zeta_8)$ dove $zeta_8$ è una radice ottava primitiva dell'unità in $CC$, ad esempio $e^((2 pi)/8) = sqrt(2)/2 + i sqrt(2)/2$.
- il gruppo di Galois di questa estensione è isomorfo a $ZZ//8ZZ ^**$, il quale è a sua volta isomorfo a $ZZ//2ZZ times ZZ//2ZZ$

Ci ho messo un po' a scrivere tutta la risposta e non avevo notato che avevi risposto anche tu...