Algebra esercizi

[francescodd]

1) Per ogni $n$ $in$ $N$ si determini l' ultima cifra di $ 4^n+9^n$

2) Sia $\zeta$

$((1,2,3,4,5,6,7),(4,7,3,5,1,6,2))$

a)Determinare la decomposizione in cicli disgiunti di $\zeta$

b)Determinare gli $n$ $in$ $N$ per cui $(\zeta)^n$ è un cilco


3)Sia $G$ un gruppo abeliano e sia $e$ l' elemento neutro gi $G$.

Provare che:

$T(G):={g|g in G, EE n in N, g^n=e}

è un sottogruppo



Per il primo ho distinto due casi: n pari e n dispari e ho fatto la congruenza modulo 10

Per il 2 mi è uscito che se $n$ congruo 2 3 4 (mod6) $\zeta$ è un ciclo , mentre per $1, 5, 6$ non è un ciclo.

vorrei sapere se i procedimenti e risultati sono esatti e se gentilmente potete postare tutti i passaggi. grazie

[franced]

1) Per ogni $n$ $in$ $N$ si determini l' ultima cifra di $ 4^n+9^n$

Guarda cosa accade per $n=1,2,3,4,...$
noterai una regolarità.

[francescodd]

forse dici che se n è dispari l' ultima cifra è 3 mentre se è pari l' ultima cifra è 7...

[francescodd]

come ho detto ho distinto due casi

n pari $4^n=6 (mod10)$ e $9^n=1(mod10)$ quindi $4^n+9^n=6+1$ (mod10)

analogo ma con diversi risultati per n dispari

è giusto il procedimento?

grazie

[francescodd]

up

[Martino]

Si e' giusto. Probabilmente per rendere il metodo applicabile in generale e' meglio fare le congruenze modulo 2 e modulo 5, discutendo la parita' di $n$ solo alla fine.

[francescodd]

per l' esercizio 3 tu come l' avresti risolto?

[Gatto89]

Avuto proprio ieri il secondo esonero di algebra

Devi dimostrare che questo sottoinsieme con l'operazione data nel gruppo è a sua volta un gruppo.

1) E' associativo, perchè è associativa l'operazione nel gruppo.

2) Esiste l'elemento neutro in quanto $e^1 = e \rarr e \in T(G)$

3) Esistono gli inversi di ogni elemento, $\forall g \in T(G), g\cdotg^(n-1) = g^n = e$ per ipotesi.

Quindi concludi che $T(G)$ è un sottogruppo.

[Gatto89]

Piccola aggiunta: ovviamente $g^(n-1) \in T(G)$ in quanto $(g^(n-1))^n = (g^n)^(n-1) = e^(n-1) = e$

[francescodd]

ma non bisogna dimostrare anche la chiusura? oppure non è necessario in questo caso?