Potenza del continuo

[dustofstar]

Ciao a tutti.. sto studiando gli insiemi con potenza del continuo. e non riesco a spiegarmi alcune cose.
Il quadrato nel piano e il cubo nello spazio hanno potenza del continuo, e qui ci sono.
Ma.. l'insieme dei triangoli del piano e l'insieme dei cerchi del piano hanno potenza maggiore o uguale al continuo? Mi aiutate a capire come devo impostare il mio ragionamento per capirlo??

[Dorian]

Il quadrato nel piano e il cubo nello spazio hanno potenza del continuo

Che vuol dire?

[dustofstar]

.. che l'insieme dei punti del quadrato è equipotente ad R, e così anche l'insieme dei punti dello spazio.
Posso infatti stabilire un'equipotenza tra i punti del quadrato e l'intervallo (0,1) , intervallo che a sua volta è equipotente ad R (ha potenza del continuo). In conclusione l'insieme dei punti del quadrato è equipotente a R.
Ma non riesco a capire cosa accade per i triangoli e i cerchi.. uffi

[Dorian]

Posso infatti stabilire un'equipotenza tra i punti del quadrato e l'intervallo (0,1)

Potesti esplicitare questa corrispondenza? Magari la si può adattare al caso problematico...

[pic]

Un triangolo è una terna di punti non allineati, un cerchio è una coppia (centro, raggio)... questo è il trucco!

[dustofstar]

Posso infatti stabilire un'equipotenza tra i punti del quadrato e l'intervallo (0,1)

Potesti esplicitare questa corrispondenza? Magari la si può adattare al caso problematico...

dobbiamo provare che $(0,1)^2$ è equipotente a (0,1). Supponiamo di
rappresentare i numeri reali nella forma dell'espansione decimale.
Consideriamo la corrispondenza che associa ad ogni coppia $(x,y) $in $(0,1)^2$ il numero $f(x,y)$$in$$(0,1)$
ottenuto ponendo $f(x,y)=0.$$x_1$$y_1$$x_2$$y_2$... avendo supposto che $x=0.x_1$$x_2$$..$ e
$y=0.y_1$$y_2$$...$
Tale corrispondenza è iniettiva, quindi la potenza di $(0,1)^2$ è minore di quella di $(0,1)$
D'altra parte la corrispondenza che associa ad ogni $x$in$(0,1)$ la coppia $(x,$1/2$)$ è
una funzione iniettiva di (0,1) in $(0,1)^2$ e quindi la potenza di $(0,1)$ è minore di quella di $(0,1)^2$.
Pertanto per il teorema di Cantor-Bernstein possiamo concludere che (0,1) è equipotente a
$(0,1)^2$ .