pic ha scritto:vict85 ha scritto:Semplicemente il sottogruppo "ciclico" generato da un elemento di ordine infinito è isomorfo a $ZZ$ e $ZZ$ ha dei sottogruppi non banali e ogni sottogruppo di questo sottogruppo isomorfo a $ZZ$ è un sottogruppo proprio non banale del gruppo.
Non è detto che ci sia un elemento di ordine infinito.
Prendi le parti di N, con la operazione di differenza simmetrica. Esso è un gruppo infinito. Ha elementi di ordine infinito?
Questo è per dire che il tuo ragionamento si può aggiungere al mio, ma da solo non regge.
Lo sapevo ma se hai un elemento di ordine finito il gruppo aveva banalmente un sottogruppo proprio non banale, la mia non era una dimostrazione... era solo una modifica alla seconda parte.
Comunque esistono gruppo infiniti con nessun elemento di ordine infinito. La prossima volta vedrò di essere meno vago...