Gruppi e sottogruppi non banali

[vict85]

Semplicemente il sottogruppo "ciclico" generato da un elemento di ordine infinito è isomorfo a $ZZ$ e $ZZ$ ha dei sottogruppi non banali e ogni sottogruppo di questo sottogruppo isomorfo a $ZZ$ è un sottogruppo proprio non banale del gruppo.

Non è detto che ci sia un elemento di ordine infinito.
Prendi le parti di N, con la operazione di differenza simmetrica. Esso è un gruppo infinito. Ha elementi di ordine infinito?
Questo è per dire che il tuo ragionamento si può aggiungere al mio, ma da solo non regge.

Lo sapevo ma se hai un elemento di ordine finito il gruppo aveva banalmente un sottogruppo proprio non banale, la mia non era una dimostrazione... era solo una modifica alla seconda parte.
Comunque esistono gruppo infiniti con nessun elemento di ordine infinito. La prossima volta vedrò di essere meno vago...

[Arad0R]

scusate un secondo, gia che si stava parlando di gruppi ciclici..
potete spiegarmi per favore perche il gruppo $(ZZ,+)$ è generato dal solo numero 1??
le potenze di uno fanno tutte uno giusto?e allora come fanno a saltare fuori gli altri numeri?

[pic]

LOL.
E' che parliamo di "potenze" quando usiamo la notazione moltiplicativa (sia $(G,\cdot)$ un gruppo tale che bla bla), che diventano multipli se usiamo quella additiva (come in $(Z, +)$

[vict85]

scusate un secondo, gia che si stava parlando di gruppi ciclici..
potete spiegarmi per favore perche il gruppo $(ZZ,+)$ è generato dal solo numero 1??
le potenze di uno fanno tutte uno giusto?e allora come fanno a saltare fuori gli altri numeri?

Semplicemente perché $ZZ$ è l'insieme dei multipli di uno, ogni numero $n$ può infatti essere scritto come la somma di $n$ $1$. Nello stesso modo $ZZ$ è generato da $-1$. E' più interessante a mio avviso notare che è anche generato da una coppia di numeri coprimi...