Gruppi e sottogruppi non banali

[angus89]

Chi sà dimostrarmi il motivo per il quale non possono esistere gruppi infiniti che non ammettono sottogruppi non banali?

[pic]

"Sa", senza accento

Allora, prendi un gruppo infinito. Prendi un elemento non identico, e con lui l'insieme delle sue potenze. E' un sottogruppo, no? Bene, ora ci restano due casi: o esso è non banale, e allora abbiamo finito, oppure è tutto il gruppo. Ma allora prendi le sue potenze pari. Sono un gruppo, no?

[angus89]

"Sa", senza accento

Allora, prendi un gruppo infinito. Prendi un elemento non identico, e con lui l'insieme delle sue potenze. E' un sottogruppo, no? Bene, ora ci restano due casi: o esso è non banale, e allora abbiamo finito, oppure è tutto il gruppo. Ma allora prendi le sue potenze pari. Sono un gruppo, no?

certo...è simile alla dimostrazione che stavo provando a buttar giù...
ok con il primo passo, prendendo un elemento che non sia l'elemento neutro (e dunque l'identità), hai dimostrato che è ciclico...
E ci siamo...
Se prende le potenze pari...ottengo un sottogruppo non banale...
Non vedo la contraddizione...

[angus89]

non me ne vogliano gli ammistratori (specie quelli cattivissimi)...
non cancello il post, ma non è più necessario sforzarsi dato che ho trovato online delle dispense
http://www.mat.unisi.it/matdid/981.pdf
dove vi è la dimostrazione del suddetto teorema (che l'herstein propone come secondo esercizio... )

[Martino]

non è più necessario sforzarsi

Non capisco cosa vuoi dire: pic ha risposto esaurientemente alla tua domanda, no?

[angus89]

bé certo...
ma son io che non lo avevo capito...
Non mi era chiaro il motivo per il quale prendendo le potenze pari, e quindi il sottogruppo generato da $(a^2)$, arrivo a contraddizione...
Ecco... era necessario argomentare un pò...
Ora da quelle dispense ho tutto chiaro.
Non è certo colpa di pic se io non son riuscito a capire quello che ha scritto... nel senso che non sono abbastanza perspicace e ho bisogno di qualche passaggio in più...

[Fioravante Patrone]

[mod="Fioravante Patrone"]No problem.[/mod]

[pic]

Beh, non è che ottenessi una contraddizione: semplicemente $(a^2)$ è sgp non banale (perché contenuto strettamente in G; andrebbe verificato che $a^2\ne 1$, ma ciò è ovvio se $(a)$ era tutto $G$).

[vict85]

Semplicemente il sottogruppo "ciclico" generato da un elemento di ordine infinito è isomorfo a $ZZ$ e $ZZ$ ha dei sottogruppi non banali e ogni sottogruppo di questo sottogruppo isomorfo a $ZZ$ è un sottogruppo proprio non banale del gruppo.

[pic]

Semplicemente il sottogruppo "ciclico" generato da un elemento di ordine infinito è isomorfo a $ZZ$ e $ZZ$ ha dei sottogruppi non banali e ogni sottogruppo di questo sottogruppo isomorfo a $ZZ$ è un sottogruppo proprio non banale del gruppo.

Non è detto che ci sia un elemento di ordine infinito.
Prendi le parti di N, con la operazione di differenza simmetrica. Esso è un gruppo infinito. Ha elementi di ordine infinito?
Questo è per dire che il tuo ragionamento si può aggiungere al mio, ma da solo non regge.