[Teoria, Algebra] Spazi-riga e biunivocità.

[turtle87]

Ho dei vettori di $RR^n$, voglio dimostrare che sono indipendenti o no. Non solo, voglio vedere anche quali dipendono da altri (e quindi dagli altri).

Costruisco una matrice le cui righe siano le ennuple in questione, la riduco a gradini, e se viene una riga con elementi tutti nulli elimino la riga iniziale che corrispondeva, nell'ordine di inserimento nella matrice, a quella ridotta a elementi tutti nulli.

So poi che, se chiamo spazio-riga lo spazio generato dalle righe di una matrice, lo spazio-riga della matrice iniziale è uguale allo spazio-riga della matrice finale.

Come si fa a determinare che le righe finali, della matrice finale, quindi ridotta a gradini, corrispondano biunivocamente a quelle della matrice iniziale, in modo da risalire subito, ridotta la prima matrice a gradini, alle righe dipendenti dalle altre?
Il mio professore mi ha citato il nome di un teorema, che ora però non ricordo (devo essermelo annotato da qualche parte, ma non lo trovo più).

Volevo un vostro aiuto in questo senso. Grazie.

[dissonance]

forse era il teorema di Binet?
oppure qualche teorema sul rango della matrice prodotto (non ho mai sentito chiamare questi teoremi con nomi particolari però).

[turtle87]

Mi pare fossero due nomi. Comunque ora proverò a vedere se trovo qualcosa sul web, cercando "Binet".

In effetti il teorema di Binet, se ne esiste solo uno, mi pare che parli solo del determinante della matrice prodotto e del modo per calcolarlo più in fretta.

Il mio professore mi ha parlato esplicitamente di una biunivocità esistente tra le righe della prima matrice e le righe di quella ridotta a gradini a partire dalle righe della prima matrice. Tal ebiunivocità consente subito, una volta ridotta la matrice a gradini, di capire quali sono le righe indipendenti e quali quelle che dipendono da esse e dunque si possono eliminare.
Non penso sia necessario un esempio, in tal senso. In ogni caso, cercherò di postarne uno.

[dissonance]

Sì, ho capito a cosa ti riferisci. Io in genere penso a questo fatto interpretando l'eliminazione di Gauss in termini di prodotto di matrici, e concludendo che il rango della matrice ridotta è uguale al rango della matrice di partenza. Non so se il tuo professore ha seguito questa strada però.

[turtle87]

concludendo che il rango della matrice ridotta è uguale al rango della matrice di partenza.

Mi pare che in più ci sia da dimostrare la biunivocità tra le righe iniziali e quelle finali.

Il mio professore ha solo dimostrato che lo spazio-riga iniziale è uguale a quello finale, non che le righe iniziali e quelle finali sono in corrispondenza biunivoca. E l'ho dimostrato in maniera molto più semplice, mediante una doppia inclusione, che tiene conto del fatto che le prime appartengono al sottospazio generato dalle seconde e viceversa.

Magari mi sfugge qualche legame, per natura tendo sempre a complicarmi la vita.