ricerca (intelligente) di elementi inversi nei campi

[angus89]

Allora...L'esercizio dice
In $A$=$Z_3$$[x]$/$(x^3+2x+1)$$=Z_3[alpha]$

(dato che si vede male, specifico che $A$ è il campo dei polinomi a coefficienti in zeta 3 valutati(attraverso le classi di congruenza) con il polinomio $x^3+2x+1$)

come al solito posto $[x]_3$=$alpha$
trovare l'inverso di $alpha^2+alpha+2$

Ecco il mio approccio (potete tranquillamente non leggere e darmi consigli anche generali per la risoluzione di tali problemi)
Considerando che $A$ ha 27 elementi non mi pare una cosa intelligente andare avanti a tentativi...

La cosa che si nota subito, utilizzando il fatto che $P(alpha)=0$ è:
$alpha^3+2alpha+1=0$ $->$ $alpha^3=alpha+2$
e dunque con qualche passaggio si arriva a dire che
$alpha^2+alpha+2=alpha^2(alpha+1)$
quindi basterebbe trovare l'inverso di $alpha^2$ e $alpha + 1$ che magari è più semplice...
Fatto sta che non ci riesco.

Son sicuro che non devo fare 27 tentativi per trovare quell'inverso, ma non saprei cosa fare...sicuramente c'è un modo intelligente

[maurer]

Un elemento $p(x)$ in $ZZ_p[x]_(a(x))$ è un elemento tale che $MCD(a(x),p(x))=1$; allora puoi sfruttare l'identità di Bezout: scrivi 1 come combinazione lineare di a(x) e p(x), cioè ottieni $1=a(x)k(x)+s(x)p(x)$ per opportuni polinomi $k(x)$ e $s(x)$; poi passi alle classi di equivalenza e trovi che $\bar{s(x)}*\bar{p(x)}=\bar{1}$, cioè $s(x)$ è il tuo elemento inverso...
Chiaro?

[angus89]

si...grazie per la risposta...

[angus89]

Un elemento $p(x)$ in $ZZ_p[x]_(a(x))$ è un elemento tale che $MCD(a(x),p(x))=1$; allora puoi sfruttare l'identità di Bezout: scrivi 1 come combinazione lineare di a(x) e p(x), cioè ottieni $1=a(x)k(x)+s(x)p(x)$ per opportuni polinomi $k(x)$ e $s(x)$; poi passi alle classi di equivalenza e trovi che $\bar{s(x)}*\bar{p(x)}=\bar{1}$, cioè $s(x)$ è il tuo elemento inverso...
Chiaro?

solo un piccolo dubbio...
quando imposto bezeout per trovare l'inverso procedo con l'algoritmo di euclide via via dividendo...
ma quando faccio le divisioni fra polinomio devo considerare che sono in $Z_3$?
Cioè devo fare attenzione ai coefficienti?

[maurer]

sì... e puoi farlo perché $ZZ_3$ è un campo e quindi valgono tutte le proprietà dimostrate per $KK[x]$ in generale...
Puoi anche non semplificare i coefficienti, ma ti conviene, così non vengono calcoli assurdi!

[nato_pigro]

non ne so affatto più di te ma mi viene da darti ancora due consigli :
in alcuni casi si possono usare metodo "furbi", ad esempio nel tuo campo vogliamo trovare l'inverso di $x^2+2$, possiamo procedere con Bezout e tutto il resto oppure si può notare che la classe di $x^3+2x+1=0 => x^3+2x=-1 => -x(x^2+2)=1$ quindi l'inverso di $x^2+2$ è $-x$

un'altra cosa: quando fai le divisioni tra polinomi a coefficienti in $ZZ_p$ (o anche in $ZZ_n$ se però il coefficiente che dividi è invertibile) fare $a/b$ è equivalente (più che altro non puoi fare altrimenti) a fare $a*b^-1$, dove $b^-1$ è appunto l'inverso di $b$.

[angus89]

si ok...adesso il dubbio che avevo è diventato una sciocchezza...dopo aver passato il pomeriggio a far esercizi...
riguardo i consigli che mi hai dato...bè si...effettivamente prima di riempire una pagina di divisioni fra polinomi mi converrebbe provare un pò e vedere si si trova banalmente un inverso...