come risolvere un sistema lineare

[kind85]

Salve a tutti. Sto cercando di farmi un'idea sui vari passaggi da fare per risolvere un sistema di eq. lineari. Ho capito che:
1. come prima cosa devo vedere se il sistema ha soluzioni e quante. per questo uso il Teorema di Rouchè-Capelli.
2. SE IL SISTEMA HA UN UNICA SOLUZIONE: applico il teorema di Cramer e trovo la soluzione con il determinate. (questo teorema vale solo se il nr di varialibili è uguale al numero di equazioni?)
ora ecco le domande:
a) e se il sistema ha infinite soluzioni, come faccio a determinarne il tipo?
b) per problemi in cui ci sono più variabili che equazioni, vale sempre il teorema di Cramer?
Grazie

[Lord K]

Per la domanda a) a che "tipo" ti riferisci???

Mentre per la b) non vale Cramer, anche perchè non ci sono soluzioni, tutt'al più mediante metodi numerici si può ottenere una soluzione che genera l'errore (confrontandosi con le varie equazioni) con valore assoluto più basso.

[kind85]

a) nel senso: queste infinite soluzioni hanno tutte la stessa forma? per esempio un sistema di 3 variabili (x,y,z) ha infinite soluzioni e quaste soluzioni sono del tipo (x,y,x+y). può succedere? oppure quando trovo che il sistema ha infinite soluzioni mi devo fermare?
b) vuoi dire che se ho un sistema con 4 variabili (x,y,w,z) in 3 equazioni e con Rouchè-Capelli trovo che la matrice completa ha lo stesso rango della matrice incompleta non c'è modo di calcolare le soluzioni?
Aggiungo c) mi potreste fare un esempio in cui la matrice completa ha rango diverso dalla matrice incompleta?

[Lord K]

Ho confuso....

b) hai una soluzione parametrica, se hai $m$ equazioni indipendenti e $n$ incognite avrai una soluzione in $n-m$ parametri.

a) quando trovi che il sistema ha infinite soluzioni devi poterle esprimere nei parametri che essa crea.

P.S. sorry per la svista.

[kind85]

Ho confuso....

b) hai una soluzione parametrica, se hai $m$ equazioni indipendenti e $n$ incognite avrai una soluzione in $n-m$ parametri.

a) quando trovi che il sistema ha infinite soluzioni devi poterle esprimere nei parametri che essa crea.

P.S. sorry per la svista.

a-b) cioè? e come faccio a calcolarle?

propongo l'esercizio da cui sono nate queste domande:
Stabilire per quali valori del parametro reale h il seguente sistema ammete soluzioni; nel caso le ammetta, determinarle.
${(x+y+w+z=0),(y+hw+z=2),(hy+hw+z=1) :}$

[kind85]

però se h≠1 la matrice completa e la matrice incompleta hanno Rango=3 e quindi il sistema ha almeno una soluzione.
Come faccio a determinare queste soluzioni?

[kind85]

Quindi ritornando al mio sistema, se $h!=1$ dovrei prendere, per esempio, la variabile z e ridure tutte le eq. in funzione di z? cioè:
${(x+y+w+z=0),(y+hw+z=2),(hy+hw+z=1) :}$
dalla seconda eq ricavo: $y=2-z-hw$
sostituisco $y$ nella terza eq e trovo che: $w=((h-1)z+1-2h)/(h^2+h)$
prendo questa $w$ e la sostituisco nella seconda eq. $y=2-z-hw$ e diventa:$y=2-z-h(((h-1)z+1-2h)/(h^2+h))$
ora sostituisco $y$ nella prima eq. e ottengo: $x=-2+z+h(((h-1)z+1-2h)/(h^2+h))$
Ora ho tutte le eq. in funzione del parametro $z$.
E giusto?

[Optimus Prime]

Ciao a tutti, senza aprire un nuovo topic posto qui i miei dubbi, sperando che qualcuno mi risponda...

Sia (A,B) un sistema, con A matrice dei coefficienti e B colonna dei termini noti:

- det(A) = 0 se e solo se le colonne della matrice A sono linearmente dipendenti
- Il sistema ha soluzione se e solo se B è combinazione lineare delle colonne di A, ovvero che la dim (A) = dim (B), ovvero che il rg (A) = rg (A,B)
- Le soluzioni del sistema omogeneo, sono il sottospazio di Ker f, ovvero del nucleo della applicazione lineare che genera la matrice associata (inoltre questo sistema ha sempre soluzione per la proprietà che manda lo 0 del dominio nello 0 del codominio)
- Se il sistema ha soluzioni (ovvero det (A) = 0), allora il n delle soluzioni è |K|^dim (ker f)

Ora avendo un sistema parametrico (A,B), vi spiego come faccio per trovare il numero delle soluzioni:

- Calcolo det (A), e mi salterà fuori un polinomio, e dirò che: per valori parametrici diversi dalle soluzioni del polinomio, che implicherebbero det (A) = 0, il sistema ha una sola soluzione (cosi abbiamo scritto in classe, ma non ho capito bene il perchè).
Per i valori parametrici che implicherebbero det (A) = 0, ora posso trovarmi davanti 2 casi (3 con il sistema omogeneo)
1) Il rg (A) = rg (A,B), allora il sistema ha soluzioni
2) I due ranghi non sono uguali e il sistema non ha soluzioni.

Premetto che non conosco l'algoritmo di Gauss, per "gradinare" la matrice (e anche molte altre cose), perchè non ce l'hanno spiegato, ma perfavore qualcuno mi dica se questo procedimento è sbagliato o se posso fare a meno di alcuni passaggi o se sono un incapace ed è meglio che lunedi io non vada all'esame ...

Grazie in anticipo a chi mi risponderà...

[kind85]

devi distinguere tra sistema quadrato, cioè nr di equazioni=nr di variabili, oppure sistema non quadrato.
guarda questo per capire cosa fare
http://www.apav.it/eugenimat0304/I%20sistemi%20lineari.pdf
spero non sia troppo tardi per l'esame

[kind85]

Quindi ritornando al mio sistema, se $h!=1$ dovrei prendere, per esempio, la variabile z e ridure tutte le eq. in funzione di z? cioè:
${(x+y+w+z=0),(y+hw+z=2),(hy+hw+z=1) :}$
dalla seconda eq ricavo: $y=2-z-hw$
sostituisco $y$ nella terza eq e trovo che: $w=((h-1)z+1-2h)/(h^2+h)$
prendo questa $w$ e la sostituisco nella seconda eq. $y=2-z-hw$ e diventa:$y=2-z-h(((h-1)z+1-2h)/(h^2+h))$
ora sostituisco $y$ nella prima eq. e ottengo: $x=-2+z+h(((h-1)z+1-2h)/(h^2+h))$
Ora ho tutte le eq. in funzione del parametro $z$.
E giusto?

Scusate ma quello che ho fatto è giusto? se si, fate la prova a dare un qualsiasi valore ai parametri $h$ e $z$, con $h!=1$ e verificate il sistema.
io ci ho provato con $h=3$ e $z=1$ e non mi viene. dove sbaglio?