Relazione equivalenza, insieme quoziente e partizioni.

[bla99hf]

Se possibile vorrei gentilmente ricevere delle ultime delucidazioni.

dalla teoria:
Nel teorema si associa ad ogni equivalenza una partizione, e ad ogni partizione un'equivalenza.
Facendo corrispondere ad ogni equivalenza ~ su A la partizione A/~, e ad ogni partizione F su A l'equivalenza ~ su A si ottiene una biiezione tra l'insieme delle equivalenze su A e l'insieme delle partizioni di A.

da me:
considerando sempre l'esempio della relazione "hanno lo stesso numero di lati di", l'insieme delle equivalenze su A dovrebbe essere quello di tutte le equivalenze ad esempio se 'a' e 'b' sono pentagoni e 'c' e 'd' sono quadrati dovremmo avere un insieme composto in questo modo{ a~b, c~d } mentre l'insieme delle partizioni dovrebbe essere { pentagoni, quadrati }. è giusto?

si può descrivere questa biiezione che intercorre?

[adaBTTLS]

il fatto che ad ogni partizione corrisponda una relazione di equivalenza e, viceversa, ad ogni relazione di equivalenza corrisponda una partizione, ti dovrebbe convincere che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle partizioni e l'insieme delle equivalenze. però non è certo facile descriverle, anche perché sono di una potenza non numerabile e si possono "inventare con molta fantasia...". qualche esempio te l'ha fornito Sergio.
io volevo farti riflettere sul caso finito: prova a contare tutte le possibili partizioni di un insieme piccolo come {1,2,3,4,5}. immagina come il numero delle partizioni possa crescere rapidamente all'aumentare del numero degli elementi dell'insieme...
ciao. spero di essere stata chiara ed utile.

[ViciousGoblin]

Se possibile vorrei gentilmente ricevere delle ultime delucidazioni.

dalla teoria:
Nel teorema si associa ad ogni equivalenza una partizione, e ad ogni partizione un'equivalenza.
Facendo corrispondere ad ogni equivalenza ~ su A la partizione A/~, e ad ogni partizione F su A l'equivalenza ~ su A si ottiene una biiezione tra l'insieme delle equivalenze su A e l'insieme delle partizioni di A.

da me:
considerando sempre l'esempio della relazione "hanno lo stesso numero di lati di", l'insieme delle equivalenze su A dovrebbe essere quello di tutte le equivalenze ad esempio se 'a' e 'b' sono pentagoni e 'c' e 'd' sono quadrati dovremmo avere un insieme composto in questo modo{ a~b, c~d } mentre l'insieme delle partizioni dovrebbe essere { pentagoni, quadrati }. è giusto?

si può descrivere questa biiezione che intercorre?

Da come dici le cose non mi sembra tu abbia colto il formalismo. Nel tuo esempio mi pare di capire che $A$ e' l'insieme di tutti i poligoni (che sono infiniti); l'equivalenza
"$\cdot$ ha lo stesso numero di lati di $\cdot$" Induce una partizione in $A$, il quale risulta essere $A=\cup_{k=1}^\infty A_n$, dove $A_k:={"poligoni con " k " lati"}$.
Questa non e' che una tra le possibili equivalenze , e induce una particolare partizione di $A$. Gli elementi del quoziente possono essere intepretati come dei "poligoni ideali"
- per esempio $A_5$ e' "il pentagono". L'insieme di tutte le partizioni e' ovviamente infinito e non capisco in termini d cosa vorretsti caratterizzare la bigezione "equivalenze <-> partizioni".

Se $A$ e' finito, per esempio se $A={1,2,3}$ allora le partizioni sono finite, in questo caso sono 5 e cioe' ${{1},{2},{3}}$, ${{1,2},{3}}$, ${{1,3},{2}}$, ${{2,3},{1}}$, ${{1,2,3]}$
e per ognuna di esse c'e' una corrispondente equivalenza.


EDIT Sembra che adaBTTLS mi abbia preceduto.