Relazione equivalenza, insieme quoziente e partizioni.

[bla99hf]

Salve a tutti,
dato il seguente

Teorema:
a) Se ~ è un'equivalenza su A, allora l'insieme quoziente A/~ è una partizione di A.
b) Se F è una partizione di A, si definisca una relazione ~ su A ponendo, per ogni a,b € A, a ~ b se esiste X € F tale che a € X e b € X. Allora ~ è una equivalenza su A.


potete per favore farmi degli esempi per farmi capire meglio il tutto? magari con elementi noti?
mille grazie.

[adaBTTLS]

benvenuto/a nel forum.
tutto sta nel significato di partizione. sai che cos'è una partizione? prova a definirla. ciao.

[bla99hf]

Si ho capito il significato di partizione e questa è la definizione:

Sia A un insieme non vuoto. Una partizione F di A è una famiglia di sottoinsiemi di A tali che:
(a) ogni X € F è non vuoto;
(b) con l'unione di questi insiemi X € F ottengo A (cioè l'insieme di partenza)
(c) se considero X, Y € F con X diverso da Y, la loro intersezione è vuota, cioè essi non hanno elementi in comune.




e già che ci siamo diamo anche la definizione di classe di equivalenza e insieme quoziente:

>Classe di equivalenza:
Sia A un insieme e ~ un'equivalenza su A. Per ogni a € A definiamo [a] = { x | x € A, x ~ a }
detta "classe di equivalenza di a modulo ~".

>Insieme Quoziente:
A/~ = {[a] | a € A } detto insieme quoziente di A modulo ~. Cioè l'insieme di tutte le classi di equivalenza dell'insieme A.


... però mi piacerebbe vedere qualche esempio perchè c'è qualcosa che mi sfugge...
se per cortesia potete aiutarmi



e aggiungo, non so se è qui il luogo giusto dove postare ciò e se sbaglio mi scuso. Questo argomento l'ho fatto in università ed ho reputato giusto postarlo qui, non vorrei che altri membri considerassero troppo semplice l'argomento da rimanere infastiditi al punto tale da non rispondere......

[adaBTTLS]

adesso ti ha risposto abbastanza esaurientemente Sergio. volevo solo farti un esempio molto semplice. prendiamo l'insieme dei numeri naturali da 1 a 20, e lo suddividiamo in tre classi di equivalenza: {1,4,7,10,13,16,19}, {2,5,8,11,14,17,20}, {3,6,9,12,15,18}.
nel primo insieme abbiamo inserito i numeri congrui a 1(mod 3), nel secondo i numeri congrui a 2(mod 3), nel terzo i numeri congrui a 0(mod 3), cioè i multipli di 3.
in ogni caso, l'appartenere allo stesso sottoinsieme (classe di equivalenza) è una relazione di equivalenza perché gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: ogni elemento appartiene allo stesso sottoinsieme di se stesso, se un elemento appartiene allo stesso sottoinsieme di un secondo elemento, quest'ultimo appartiene allo stesso sottoinsieme del primo, inoltre se "a" appartiene allo stesso sottoinsieme di "b" e "b" appartiene allo stesso sottoinsieme di "c" allora anche "a" appartiene allo stesso sottoinsieme di "c". pensa ad esempio ai numeri 1,4,10.
spero di essere stata utile. ciao.

[bla99hf]

chiaro. grazie infinite.
ed inoltre....

Considera l'insieme A di tutti i poligoni regolari.
Sia ∼ la relazione di equivalenza "ha lo stesso numero di lati di".
I sottoinsiemi di A sono "triangoli", "quadrati", "pentagoni" ecc.

Dal momento che si considera poligoni regolari l'insieme A sarà costutito per esempio da
A = { triangolo, quadrato, pentagono, esagono, eptagono, ennagono, decagono } ecc...

e dal momento che dobbiamo considerare solo poligoni regolari, ogni partizione contiene solo un unico elemento. è giusto?
invece se nel caso avessimo considerato poligoni in generale avremmo avuto ad esempio un quadrato, un rombo ed un trapezio isoscele facenti parte della stessa partizione. e giusto anche questo?

[adaBTTLS]

solo triangoli equilateri, solo quadrati, ... ma non solo "un" triangolo...

[bla99hf]

ho capito, riguardo la seconda parte della mia domanda, ho ragione?

e nel caso avessimo considerato poligoni in generale avremmo avuto ad esempio un quadrato, un rombo ed un trapezio isoscele facenti parte della stessa partizione. e giusto anche questo?

anzi mi correggo quadrati rombi e trapezi isosceli... sbaglio?

[adaBTTLS]

sì, tutti i quadrilateri fanno parte della stessa classe di equivalenza, ma non solo un campione per categoria, tutti gli infiniti quadrilateri che possiamo immaginare...

[bla99hf]

Credo che per il momento non ci sia più niente da aggiungere!

Perfetto!! Grazie tantissimo.

[adaBTTLS]

prego!