omomorfismi

[manu0103]

salve potete aiutarmi a capire il concetto di omomorfismo di gruppi e anelli?magari anke con esercizi?grazie

[Yak52]

Ora non ho tantissimo tempo quindi non faro' alcun esempio...

Cmq per capire concettualmente cosa sia un omomorfiscmo tra 2 gruppi basta pensare ad una funzione che abbia l'unica proprieta' di conservare l'operazione gruppale, cioe' deve essere3 che A(g*h)=A(g)*A(h). si vede appunto che l'operazione * viene trasferita da A da l primo gruppo, i cui elementi sono g e h, al secondo gruppo, i cui elementi sono le immagini di g e h.

[VINX89]

Un "morfismo" o "omomorfismo" è una applicazione definita fra due insiemi, cioè una legge matematica che associa ad ogni elemento dell'insieme di partenza (dominio) un elemento dell'insieme di arrivo (codominio). Un morfismo, per essere tale, deve però rispettare 2 condizioni; se m è un morfismo da A in B allora:
m(a1°a2)=m(a1)°m(a2) per ogni a1 e a2 appartenenti ad A (dove ° è una generica operazione definita in dominio e codominio)
m(ka)=km(a) per ogni a appartenente ad A e per ogni k appartenente ad R (se si sceglie di lavorare con il "campo" reale, come di solito avviene).
Si parla di "isomorfismo" se l'applicazione è biiettiva, cioè iniettiva e suriettiva.
Un morfismo tra gruppi e/o anelli è, appunto, un'applicazione che ha come dominio e codominio queste due strutture algebriche.
Un gruppo è un'insieme in cui è inserita un'operazione generica ° che gode delle proprietà associativa, esistenza elemento neutro ed esistenza dell'opposto per ogni elemento del gruppo (se vale anche la proprietà commutativa allora si parla di "gruppo commutativo o abelliano").
Un anello è un insieme in cui sono definite due operazioni ° e * in modo tale che:
-L'insieme con ° sia un gruppo
-* gode delle proprietà associativa, distributiva ed esistenza del reciproco per ogni elemento
Se * gode anche della proprietà commutativa si parla di "anello commutativo o abelliano"; se esiste l'elemento neutro allora si dice che l'anello "è con unità".
Un morfismo tra gruppi (e quindi tra anelli, campi, spazi vettoriali ecc..) gode di 3 proprietà;
Sia m un morfismo tra 2 gruppi e sia "e" il suo elemento neutro:
- m(e)=e (l'immagine dell'elemento neutro è l'elemento neutro)
- m(x^-1)=(m(x))^-1 (l'immagine del reciproco è il reciproco dell'immagine)
- m è iniettiva se e soltanto se il "nucleo" di m (Ker(m)) contiene solamente e (il nucleo di un morfismo è sottoinsieme del dominio in cui sono contenuti tutti gli elementi che hanno come immagine e)
Il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio, mentre l'"immagine" (sottoinsieme del codominio in cui sono contenute tutte le immagini mediante l'applicazione) è un sottospazio vettoriale del codominio. E' utile negli esercizi il cosiddetto "teorema delle dimensioni"; se dimV è la dimensione del dominio, dimKer(m) è la dimensione del nucleo e dimIm(m) è la dimensione dell'immagine, allora:
dimV=dimKer(m)+dimIm(m)
Per avere un isomorfismo, dimKer(m)=0 (iniettività) e, di conseguenza, la dimensione dell'immagine, che dev'essere uguale a quella del codominio (suriettività), è uguale a quella di V.
Spero di essere stato abbastanza chiaro ed esauriente

[manu0103]

grazie a tutti