Ordinali e sottoinsiemi di $RR$

[Megan00b]

Esercizio: Dimostrare per induzione transfinita che ogni ordinale $alpha<omega_1$ è isomorfo ad un sottoinsieme $A_alpha$ di $RR$ (con l'ordinamento indotto da $RR$).

Mia soluzione:
Prima di utilizzare l'induzione transfinita ossia:
${(P(0)),(P(alpha) to P(alpha+1)),(AA lambda\ \l\i\m\i\t\e\ AA alpha<lambda P(alpha) to P(lambda)):}$
allora $AA alpha P(alpha)$
scrivo esplicitamente gli $A_alpha$ che associo agli ordinali $0,1,2,3,...,omega$.
Ovviamente $A_0=O/$.
Ad ogni $alpha=n$ finito associo l'insieme $A_n={1-1/m|m in NN^{+}, m<=n}$.
Ad $omega$ associo l'insieme $A_omega = {1-1/m|m in NN^{+}}$
Procedendo secondo l'intuizione che $omega+1$ sia $omega$ <<più un punto>> vorrei associare ad $omega+1$ $A_omega uuu {barx}$ dove $barx$ è un maggiorante di $A_omega$.
Ora voglio generalizzare e formalizzare
Induzione transfinita su $P(alpha)$="$alpha$ è isomorfo ad un sottoinsieme di $RR$"

Caso base:
P(0) perchè $O/$ è isomorfo a 0.
Casi induttivi:
$P(alpha) to P(alpha+1)$
i) Distinguo due casi:
1) Se $alpha$ è finito semplicemente definisco $A_(alpha+1)$ come sopra.
2) Se $alpha$ è infinito (numerabile data la traccia) ci sono 2 sottopossibilità:
2a) $A_alpha$ è limitato superiormente. Allora definisco $A_(alpha+1)=A_alpha uuu {1+supA_alpha}$
2b) $A_alpha$ è illimitato superiormente. Allora definisco B_alpha=arctg(A_alpha).
arctg è strettamente crescente in $RR$, bigettiva sul codominio e trasforma R in un intervallo limitato.
Quindi se $f:alpha->A_alpha$ è l'isomorfismo dato dall'ipotesi induttiva allora $arctg(f)$ è un isomorfismo tra $alpha$ e B.
Allora definisco $A_(alpha+1)=B_alpha uuu {1+supB_alpha}$
La verifica che in tutti i casi elencati A_(alpha+1) è isomorfo ad $alpha+1$ mi pare evidente.

ii) Sia $lambda$ un ordinale limite.
Se $lambda=0$ ho il caso base. Se $lambda=omega$ definisco $A_omega$ come detto sopra. Sia allora $lambda>omega$.
Dal teorema di divisione euclidea segue che $lambda=omega*beta$ per qualche ordinale $beta$.
Inoltre $lambda>beta$ perchè $omega*beta>1*beta$.
Allora per ipotesi induttiva so che esistono $A_omega,A_beta sub RR$ che sono isomorfi rispettivamente a $omega,beta$.
Allora $lambda$ è isomorfo a $B=A_omega times A_beta$ con l'ordinamento lessicografico.
Posso allora pensare B come <<$beta$ copie di $omega$ una dopo l'altra>>. Più formalmente:
Poichè stiamo lavorando con insiemi numerabili $A_beta$ si scrive come successione reale ${s_n}_{n in NN}$.
Allora definisco $C sub RR$ l'insieme ottenuto sostituendo ad ogni $s_n$ una successione isomorfa a $A_omega$ opportunamente riscalata e traslata. (andrebbe scritta ma mi sono voluto fidare e ho ceduto alla pigrizia).


Errori, correzioni, inesattezze, migliorie?
Grazie.