Isomorfismi tra anelli

[Augosoma]

Ciao,
mi stanno creando dei problemi questi esercizi:
1)Devo dimostrare che i due anelli seguenti non sono isomorfi:
$A={a+ibsqrt(2)|a,binZZ}
$B={a+ibsqrt(3)|a,binZZ}
quindi quello che stavo cercando è qualche proprietà della struttura appartente ad uno e non all'altro, e mi sono imbattuto nel fatto che B non è UFD, perchè 4 ad esempio ammette due fattorizzazioni distinte, mentre per B un esempio simile non l'ho trovato quindi sto cercando di dimostrare che B è UFD secondo voi la strada è giusta?
2)il secondo un pò più semplice é:
sia n=ds MCD(d,s)=1 dimostrare che i due anelli con addizione e moltiplicazioni usuali
$(H_d,+, \ ) con H_d={[rd]_n|rinZZ}
$(ZZ_s,+, \ )
sono isomorfi.
da n=sd si dimostra che |H_d|=6 perchè $[rd]_n=[r(s+1)d]_n
per MCD(s,d) si dimostra che $H_d $ ammette unità per bezout $EE e,tinZZ \ t.c. \ ed+ts=1$ quindi $rded=rd+rn$ cioè $ [rd]_n[re]_n=[rd]_n
Quindi abbiamo due strutture speculari con le stesse operazioni e lo stesso numero di elementi esisterà per forza una permutazione $sigmainS_s$ t.c. verifichi l'isomorfismo ma non riesco a farlo vedere.

[Martino]

Per il primo puoi semplicemente far vedere che non esistono in $A$ elementi che svolgono il ruolo di $sqrt(3)$ in $B$, ovvero il cui quadrato e' uguale a $3$.

[Augosoma]

ciao martino grazie della risposta e scusa il ritardo,
non so se era quello che intendevi alla fine penso di averlo risolto così:
Sono entrambi anelli dotati di unità quindi se esistesse un isomorfismo $f:B->A $questo collegherebbe le unità quindi:
$f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2=-isqrt(2) \ isqrt(2)=f(-b)f(b)=f(-b^2)
cioè dovrebbe esistere $binB \ t.c. \ b^2=-2 $
assurdo

[Martino]

Sì scusa, intendevo il ruolo di $i sqrt(3)$, non di $sqrt(3)$. Insomma come hai fatto tu.
Per mostrare che non ci sono $b in B$ con $b^2=-2$ basta scrivere $(x+i sqrt(3)y)^2=-2$ e dedurre un assurdo, penso che avrai fatto così anche tu.