Sistemi di congruenze in 2 incognite

[miomiomio]

Ciao a tutti. Ho un sistema composto da 2 congruenze in 2 incognite
4x-y=3 mod13
7x+2y=5 mod 13

= indica congruo

Come devo fare per risolverlo? Qualche link per studiare?
Grazie

[Lord K]

Uhm... qui si tratta di studiare in $ZZ_13$ il sistema:

${(4x-y=3),(7x+2y=5):}$

Procediamo come un usuale sistema e ricaviamo dalla prima:

$y=4x-3$

e sostituiamolo nella seconda:

$7x+2(4x-3) =5$
$7x+8x-6=5$
$15x=11$

ma siamo in $ZZ_13$:

$2x=11$
$x=11*2^(-1)$

Ma per Bezout:

$7*2-13=1$

quindi $7=2^(-1) (13)$

La soluzione finale è:

$x\equiv 77(13) \equiv 12(13)$
$y=4x-3 = 12*4-3 \equiv 6(13)$

Tutto chiaro?

[Lord K]

Una ulteriore osservazione, potevi risolvere il tutto con matrici e tutti i metodi che conosci per risolvere usualmente un sistema, l'unico accorgimento è che il campo in cui lo fai è un $ZZ_p$.

[miomiomio]

credo di aver capito! adesso provo a farne altri!
grazieee!

ma se ad esempio il modulo fosse diverso tra le due equazioni?

e se il grado di una equazione di concruenza fosse > di 1?

e questa come si fa?

4^(36001) ⋅ x ≡ 6^34568172 (mod 19).


scusate ma ho l'esame vicino e non ne esco...

grazie

[miomiomio]

scasa una cosa, ma nel sistema che mi hai svolto
il 15 diventa due perche in mod 13 2 e 15 stanno nella stessa classe di congruenza?

e poi se siamo in Z posso comunque utilizzare 2 alla meno 1? ovvero l'inverso di 2?

svusa ma sono un po' duro!

[Lord K]

scasa una cosa, ma nel sistema che mi hai svolto
il 15 diventa due perche in mod 13 2 e 15 stanno nella stessa classe di congruenza?

Esatto!

e poi se siamo in Z posso comunque utilizzare 2 alla meno 1? ovvero l'inverso di 2?

svusa ma sono un po' duro!

In $ZZ$, $2$ non ha inverso, in $ZZ_p$ sì e lo trovi con il metodo di Bezout.

[Lord K]

credo di aver capito! adesso provo a farne altri!
grazieee!

ma se ad esempio il modulo fosse diverso tra le due equazioni?

Ci vorrebbero conti simili ma un bel poco di accortezza in più-

e se il grado di una equazione di concruenza fosse > di 1?

e questa come si fa?

Ci sono diversi esempi in questa parte del forum sia di congruenze sia di grado $>1$ prova a darci una occhiata.

scusate ma ho l'esame vicino e non ne esco...

grazie

Tranquillo che non servono le scuse siamo qui per questo!