Martino ha scritto:vict85 ha scritto:L'unica cosa che mi lascia perplesso è: Una intersezione di un numero numerabile di insiemi ha sempre minimo?
Nel senso prendiamo $ZZ$ e intersechiamolo con $2ZZ$ e il risultato per $4ZZ$ e andiamo avanti intersecando sempre il risultato per $2^(n+1)ZZ$... Qual'é il sottoinsieme (o anche sottogruppo in questo caso) che è intersezione di tutti i sottogruppi di questo tipo?
Non capisco a cosa ti stai riferendo: nel problema di angus89 si ipotizza che il gruppo $G$ sia tale che ogni intersezione di sottogruppi non banali sia non banale, e si deduce qualcosa. Non sta mica dicendo che ogni gruppo verifica questa condizione. Per esempio appunto in $ZZ$ l'intersezione dei $2^nZZ$ e' $0$.
ok, forse ho capito perché è $0$... supponi che un elemento diverso da $0$ sia nell'intersezione e trovi un sottoinsieme della famiglia che non lo contiene...
In ogni caso $ZZ$ è isomorfo al gruppo ciclico generato da ogni elemento di ordine infinito... Quindi ogni gruppo non di torsione ha una sottogruppo isomorfo a $ZZ$. Quindi se $ZZ$ con i suoi sottogruppi non ha questa caratteristica allora il gruppo con quella caratteristica deve essere di torsione...
A me sembra che il test di $ZZ$ sia essenziale ai fini della dimostrazione, di fatto se dimostri questo hai dimostrato il teorema.