Gruppi e sottogruppi

[vict85]

L'unica cosa che mi lascia perplesso è: Una intersezione di un numero numerabile di insiemi ha sempre minimo?
Nel senso prendiamo $ZZ$ e intersechiamolo con $2ZZ$ e il risultato per $4ZZ$ e andiamo avanti intersecando sempre il risultato per $2^(n+1)ZZ$... Qual'é il sottoinsieme (o anche sottogruppo in questo caso) che è intersezione di tutti i sottogruppi di questo tipo?

Non capisco a cosa ti stai riferendo: nel problema di angus89 si ipotizza che il gruppo $G$ sia tale che ogni intersezione di sottogruppi non banali sia non banale, e si deduce qualcosa. Non sta mica dicendo che ogni gruppo verifica questa condizione. Per esempio appunto in $ZZ$ l'intersezione dei $2^nZZ$ e' $0$.

ok, forse ho capito perché è $0$... supponi che un elemento diverso da $0$ sia nell'intersezione e trovi un sottoinsieme della famiglia che non lo contiene...

In ogni caso $ZZ$ è isomorfo al gruppo ciclico generato da ogni elemento di ordine infinito... Quindi ogni gruppo non di torsione ha una sottogruppo isomorfo a $ZZ$. Quindi se $ZZ$ con i suoi sottogruppi non ha questa caratteristica allora il gruppo con quella caratteristica deve essere di torsione...
A me sembra che il test di $ZZ$ sia essenziale ai fini della dimostrazione, di fatto se dimostri questo hai dimostrato il teorema.

[Martino]

Se ho capito bene ora il problema non e' dimostrare quanto asserito da angus89 ma trovare un esempio di un gruppo infinito tale che le intersezioni di sottogruppi non banali sono non banali, giusto? In tal caso come dice vict85 bisogna andare in cerca di gruppi ogni cui elemento abbia ordine finito (stavo pensando al gruppo delle radici di 1 in C, che probabilmente e' l'unico siffatto che conosco con coscienza, ma purtroppo non va bene).

Dico infinito perche' il caso finito non e' interessante rispetto a quanto detto, e inoltre per esempio il gruppo dei quaternioni di ordine $8$ verifica l'ipotesi (ammette un sottogruppo di ordine 2 contenuto in ogni sottogruppo non banale).

[vict85]

Se ho capito bene ora il problema non e' dimostrare quanto asserito da angus89 ma trovare un esempio di un gruppo infinito tale che le intersezioni di sottogruppi non banali sono non banali, giusto? In tal caso come dice vict85 bisogna andare in cerca di gruppi ogni cui elemento abbia ordine finito (stavo pensando al gruppo delle radici di 1 in C, che probabilmente e' l'unico siffatto che conosco con coscienza, ma purtroppo non va bene).

Dico infinito perche' il caso finito non e' interessante rispetto a quanto detto, e inoltre per esempio il gruppo dei quaternioni di ordine $8$ verifica l'ipotesi (ammette un sottogruppo di ordine 2 contenuto in ogni sottogruppo non banale).

A questo ho risposto nel mio primo post...

Riguardo alle intersezioni infinite mi ero solamente confuso...

[Martino]

Ah ma allora si puo' fare cosi': consideriamo il gruppo $G$ che consiste di tutte le radici $2^n$-esime di $1$ in $CC$ al variare di $n$. Se $H$ e' un suo sottogruppo non banale e $1 ne x in H$ allora $x^{2^n}=1$ per qualche $n>0$. Quindi $y=x^{2^{n-1}}$ verifica $y^2=1$, da cui $y in {1,-1}$. Se $x^{2^{n-1}}=-1$ allora $-1 in H$, altrimenti $x^{2^{n-1}}=1$. Per induzione siccome $x ne 1$ esiste $k<n$ con $x^{2^{n-k}}=-1$. Quindi $-1 in H$. Ne deduciamo che ogni sottogruppo non banale di $G$ contiene $-1$.

Modifico: ok scusa vict non avevo visto il tuo primo post.. l'avevi fatto per ogni primo $p$.