Salve a tutti
Credo che questo problema sia già comparso tempo fà sul forum, è un problema che ho tentato di risolvere più volte e ho visto risolto altrettante volte, ma mai una dimostrazione convincente. Finalmente credo di essere giunto ad una mia dimostrazione, quello che chiedo è una rapida lettura a chiunque ne abbia voglia e la segnalazione di eventuali errori (e orrori). Ringrazio tutti coloro che lo faranno.
Naturalmente consiglio a tutti coloro che si cimentano nella teoria dei gruppi di risolvere indipendentemente l'esercizio dato che io l'ho trovato parecchio interessante.
Sia $G$ gruppo dove l'intersezione di sottogruppi diversi da $(e)$ è un sottogruppo diverso da $(e)$, dimostrare che l'ordine di un qualsiasi elemento di $G$ è finito
Dimostrazione:
Se $G$ è finito banalmente abbiamo la tesi.
Se $G$ è infinito dobbiamo dimostrare il tutto.
Abbiamo bisogno di un lemma
LEMMA
Se $G$ è un gruppo infinito, ammette sottogruppi non banali
dimostrazione del lemma
$G=(e,a,b,c,...)$
prendiamo
$(a)=(e,a,a^2,a^3,...)$
$(a)$ è sottogruppo non banale.
Se $G$ è ciclico
$G=(e,g,g^2,g^3,...)$
prendiamo $(g^2)=(e,g^2,g^4,g^6,...)$
questo è un sottogruppo non banale.
Introdotto il lemma mandiamo avanti la dimostrazione e definiamo il sottogruppo $K$ come l'intersezione di tutti i sottogruppi di $G$
Ora, questo sottogruppo non può esser infinito altrimenti avrebbe un sottogruppo non banale $F$ che sarebbe anche sottogruppo di $G$, e ciò andrebbe contro le ipotesi poiché abbiamo intersecato tutti sottogruppi.
Ora abbiamo che $K$ non può contenere solo l'elemento neutro perché lo abbiamo ottenuto intersecando sottogruppi non banali e le ipotesi del problema ci dicono che dobbiamo ottenere un sottogruppo non banale.
E dunque l'unica scelta è che $K$ sia di ordine finito.
Prendiamo ora un qualsiasi $g in G$ e prendiamo il sottogruppo che esso genera.
Indichiamo con $(g)$ il sottogruppo generato da $g$.
Per le ipotesi l'intersezione di due sottogruppi non banali deve esser un sottogruppo non banale.
E dunque intersechiamo $(g)$ e $K$, in tale intersezione deve esserci almeno un elemento $s$.
Ma se $s in (g)$ allora l'ordine di $(s)$ è infinito. E poiché $s in K$ risulterebbe che l'ordine di $K$ è infinito, il che è contro le ipotesi.
E dunque l'unica scelta è che l'ordine di ogni sottogruppo sia finito.
CVD
Altri lemmi utilizzati
- L'intersezione di due sottogruppi è un sottogruppo
- Dato un gruppo ciclico infinito, un sottogruppo di questi è infinito
E poi una curiosità...
Ho dimostrato (si spera) il tutto...
Ma esiste davvero un Gruppo $G$ del genere?