Dimostrazione di algebra come al solito tosta.

[Zkeggia]

salve, vi invito a provare il secondo punto del secondo esercizio di questo esame di algebra lineare: http://www.dm.unipi.it/~manfredi/didatt ... 6-2006.pdf

Vi spiego come ho fatto io: perché f(A) --> A bisogna che la traccia di AB sia uguale a 0.
Quindi ho impostato il conto, e cioè:

$\sum_{k,i=1}^N (a)_(k,i) (b)_(i,k) = 0$
ovvero:
$\sum_{i=1}^N[a]_(1,i)[b]_(i,1) + ... + \sum_{i=1}^N([a]_(n,i)[b]_(i,n)= 0$

arrivando a:
$\sum_{i=1}^N[a]_(1,i)[b]_(i,1) + ... + \sum_{i=1}^N([a]_(n-1,i)[b]_(i,n-1))= -\sum_{i=1}^N([a]_(n,i)[b]_(i,n))$

cioè:
$\sum_{i=1,k=2}^N[a]_(k-1,i)[b]_(i,k-1) = -\sum_{i=1}^N([a]_(n,i)[b]_(i,n))$
E qui iniziano i problemi per capire la dimensione di questo affare... avete qualche suggerimento? io intuiitivamente capisco che ci sono tutte le matrici diagonali fatte in modo che $tr(AB) = 0$, ma qeuste di fatto hanno dimensione 1... poi noto anche che le matrice che hanno sulla stessa linea due o più numeri che moltiplicati per i rispettivi elementi in B si annullano vanno bene... ma non mi riesce nè formalizzare la cosa, nè giustificarla... insomma, sono confuso...

[apatriarca]

Quali sono le tue incognite? Cosa rappresenta una espressione nella forma $\sum_{i=0}^{N} a_i*x_i = 0$? Qual'è la dimensione del tuo spazio vettoriale? Quando avrai trovato le risposte a queste domande avrai risolto il tuo problema.

[Zkeggia]

aaaah cavolo è vero! questa è una condizione sugli elementi della matrice, che sono appunto $n^2$, quindi è un'equazione con $n^2$ incognite e cioè $n^2 -1$ soluzioni!.
Ok ma sono sicuro che siano $n^2-1$ matrici? è giusto il ragionamento?

[apatriarca]

L’equazione che hai scritto è quella di un iperpiano che nel tuo spazio vettoriale di dimensione $n^2$ ha dimensione $n^2 - 1$. Le soluzioni non sono $n^2 - 1$, sono infinite e dipendono da $n^2 - 1$ parametri. $n^2 - 1$ è la dimensione del sottospazio non il numero di matrici.

[Zkeggia]

sì scusami è vero, effettivamente non era un esercizio difficile basta domandarsi quello che mi hai detto di domandarmi. grazie!

[Zkeggia]

Possiamo dire qualcosa sulla diagonalizzabilità della funzione?
So che ci sono $n^2 -1$ matrici indipendenti tali che $f(A)= A$, deduco che il ker della funzione è rappresentato da una matrice diagonale con sugli elementi gli stessi elementi di B cambiati di segno. in questo modo $tr(AB)Id + A = 0$, va bene? è indipendente?
Però posso anche dire che il lamda tale che $f(x) = lambdaX$ è dato dalla traccia di B!, o meglio, se prendo A = Identità, allora $tr(AB)*Id + A = trB * Id + Id = (trB+1) Id$
Quindi anche così va bene. Non riesco a capire quale dei due ragionamenti (entrambi possono benissimo essere sbagliati) è da correggere.