campi finiti (domanda semplice)

[angus89]

La domanda è semplicissima.
In un qualsiasi campo finito se due polinomi coincidono come funzioni ciò non vuol mica dire che coincidono come polinomi?
Esempio
In $Z_2[x]$
$p(x)=x^4+x+1$
$q(x)=x^4+x^2+1$
Coincidono come funzioni ma non come polinomi...
Qui mi pare ovvio, anche perché se così fosse si avrebbe che in $Z_2[x]$ ci sarebbero solo due polinomi...

Bè credo sia così ma ne voglio esser certo dato che ciò non è scritto sullo psedo testo di algebra che sto utilizzando...

[maurer]

Certo, hai ovviamente ragione tu... Il mio libro sottolinea profondamente la differenza che intercorre tra polinomi e funzioni polinomiali...
Data un polinomio $p(x)=a_0+a_1 x+...a_n x^n$ rimane definita una funzione che gli associa la funzione polinomiale associata; tale funzione è chiaramente suriettiva, ma se il campo è finito non può certo mai essere iniettiva. Infatti nel caso di un campo finito è limitato il numero di funzioni polinomiali che puoi scrivere, ma è infinito il numero di polinomi (perché ad esempio $x$ è diverso da $x^2$)....

[NightKnight]

Se può essere utile:
Sia $F_(p^n)$ il campo finito con $p^n$ elementi. Allora due polinomi a coefficienti in $F_(p^n)$ inducono la stessa funzione polinomiale se e solo se danno lo stesso resto nella divisione per $X^(p^n) - X$.