$EE$ stgr di ordine $d$ in gruppo di ordine $2d$, $d$ dispar

[alvinlee88]

Se $G$ è un gruppo di ordine $2d$, $d$ dispari, provare che esiste in $G$ un sottogruppo di ordine $d$.

Problema piuttosto famoso nel mio dipartimento...Buon divertimento!

[Lord K]

Se $d$ è primo allora per il teorema di Sylow ci siamo.

Se $d$ non è primo allora, $G \sim ZZ_2*ZZ_d$ poichè $gcd(2,d)=1$, infatti con l'operazione:

$(g_1,g_2)*(g_3,g_4) = (g_1*g_3,g_2*g_4)$

se prendo tutti gli elementi del tipo $(1,g)$ ne ho esattamente $d$ e questo è il sottogruppo cercato, ovvero:

$H:={(1,g) in ZZ_2*ZZ_d: g in ZZ_d}$

[alvinlee88]

Se $d$ non è primo allora, $G \sim ZZ_2*ZZ_d$ poichè $gcd(2,d)=1$,

Falso. $|S_3|$=$2*3$, ma $S_3 != ZZ_2 X ZZ_d$. Col tuo metodo sennò ogni gruppo di ordine 2d, d dispari, sarebbe abeliano, anzi perfino ciclico...

[Lord K]

$3$ è primo e ci applico Sylow...

[alvinlee88]

Vabbè ho sbagliato controesempio, prendi $D_9$, che ha ordine $2*9$, 9 non primo e il gruppo non è abeliano. Oppure prendi il prodotto diretto $Z_3 X S_3$, anch'esso non abeliano, oppure ancora
il prodotto semidiretto $(Z_3XZ_3) X_(phi) Z_2$, con $phi$ omomorfismo non banale da $Z_2$ in $Aut(Z_3X_Z3)$, ancora non abeliano.
Il punto è che un grupo abbia ordine 2d, con (2,d)=1, non è affatto sufficiente a caratterizzare il gruppo.

[Lord K]

Hai ragione, funziona solo per un qualsiasi $ZZ_(pq)$ con $p,q in ZZ: gcd(p,q)=1$

[alvinlee88]

Vale la seguente cosa: $G$ gruppo, $H$ e $K$ sottogruppi normali di $G$ tali che si intersecano solo in ${e}$ e tali che $H*K=G$, allora $G\simH X K$.
Comunque il problema è sempre lì, inattaccato. Devo dire che per me non è stato affatto facile.

[Thomas]

ciao alvinlee88.... provo per induzione su $d$ partendo da $d=1,3$ veri banalmente....

Supponiamo di avere il nostro insieme con $2d$ elementi... A questo punto considero $G_d=[n \in G t.c. n^d=e]$. Questo è caratteristico e quindi normale, inoltre la sua cardinalità è diversa da $1$ per cauchy.

Prendo $G/G_d=H$ e la proiezione canonica. Si vede che $H$ ha cardinalità minore di $G$ e continua ad essere pari perchè la cardinalità di $G_d$ è dispari (se fosse pari avrebbe per cauchy un elemento di ordine due, ma l'ordine di questo elemento non dividerebbe $d$). Quindi $|G/G_d|=|G|/|G_d|=(2d)/f$, con ovvie identificazioni.

Esiste quindi in $H$ un sottogruppo di ordine $d/f$, la sua controimmagine sarà ancora un sottogruppo di ordine $d/f*f=d$....

torna?

[fu^2]

scusa thomas mi sfugge un passaggio, te hai detto che $|H|=|G/G_d|=(2d)/f$. Da qui come fai a dire che esiste un sottogruppo di ordine $d/f$ ? magari è sciocca come domande, però...

un'altra cosa ancora più banale: cosa ti assicura che $G_d$ esiste sempre in un gruppo finito?

[Thomas]

scusa thomas mi sfugge un passaggio, te hai detto che $|H|=|G/G_d|=(2d)/f$. Da qui come fai a dire che esiste un sottogruppo di ordine $d/f$ ? magari è sciocca come domande, però...

un'altra cosa ancora più banale: cosa ti assicura che $G_d$ esiste sempre in un gruppo finito?

vediamo se so rispondere:

- l'idea era procedere per induzione.... il gruppo trovato $H$ ha ordine $2d'$ per un $d'$ dispari minore di $d$ e quindi ha quel sottogruppo per ipotesi induttiva, una volta però che si è verificato che $G_d$ è "abbastanza grosso" (vedi sotto);

- che esiste sempre è vero per buona definizione, al max è vuoto e l'identità vi appartiene... ci interessa però che ne contenga almeno un altro di elemento... questo è vero per cauchy visto che se $d$ è dispari non banale ha un divisore primo non banale e quindi esiste un elemento di ordine questo divisore per cauchy, che si vede che rispetta le ipotesi di appartenenza a $G_d$...