Ordini di elementi di un gruppo

[Mondo]

Sia G un gruppo e $g \in G$ tale che $o(g^2)=5$

a) Determinare i possibili ordini di g.
b) è possibile avere $o(g^4)=6$?

Per il punto b) ho ragionato così...

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il punto a) è solo questione di farsi a mano un paio di casi da cui si scopre in fretta che o(g) può essere solo 5 o 10. A 'sto punto per concludere mi basta osservare che se o(g^4)=6 allora o(g) divide 24 e nè 5 nè 10 dividono 24, quindi assurdo?

[deserto]

Ho trovato sull'Hernstein il seguente esercizio:
Se $a in G$ e $a^m=e$ dimostrare che $o(a)|m$

Quindi se $o(g^2)=5$ si ha $(g^2)^5=e$ ossia $g^10=e$ da cui $o(g)|10$ ossia $o(g)$ può essere $2, 5, 10$.
Similmente se $o(g^4)=6$ si ha $(g^4)^6=e$ ossia $g^24=e$ da cui $o(g)|24$ ossia $o(g)$ può essere $2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.
Pertanto se $o(g)=2$ può verificarsi b)

[Mondo]

se fosse $o(g)=2$ avrei che $g^2=e$ e quindi $o(g^2)=1$ assurdo

[apatriarca]

$o(g^2) = 5$ implica che $10$ è il più piccolo esponente $t$ maggiore di zero e pari tale che $g^t = 1$. Quindi l'ordine di $g$ può essere solo $t$ oppure un divisore dispari di $t$. Quindi può essere solo $5$ o $10$. Se $o(g^4)$ fosse uguale a $6$ allora si avrebbe che $g^{24} = 1$ che è un assurdo visto quello che abbiamo dimostrato nel punto precedente. $o(g^4)$ può essere infatti uguale solo a $5$.