L'anello degli omomorfismi è isomorfo alle matrici

[Mondo]

Sia $A$ l'anello ${f: ZZ_5^2->ZZ_5^2 | f $omomorfismo di anello$}$ rispetto all'operazione di somma e moltiplicazione. Si dimostri che A è isomorfo all'anello delle matrici 2x2 ad elementi in $ZZ_5$

[Lord K]

Il modo per farlo vedere è proprio quello proprio dell'algebra lineare per la corrispondenza tra matrici e le applicazioni lineari. Prova a formalizzarlo tu e ottieni ciò che cerchi

[Martino]

Ma la matrice $M=((1,1),(1,4))$ non rispetta la moltiplicazione di $Z_5^2$, no? Per esempio $(0,0)=(1,0)(0,1)$ non viene mandato in $M(1,0) * M(0,1)=(1,4)$ ma in $(0,0)$.

Una cosa: ma la moltiplicazione in $A$ e' quella per componenti o e' la composizione?

[Lord K]

Di solito la composizione.

[Martino]

@ Lord K: si, e' che Mondo ha scritto "rispetto all'operazione di somma e moltiplicazione" senza specificare che per "moltiplicazione" intendeva "composizione" (immagino). Comunque non credo che la corrispondenza analoga a quella dell'algebra lineare vada bene, no? Le matrici corrispondono a omomorfismi di spazi vettoriali, non rispettano la moltiplicazione interna all'anello (vedi mio intervento precedente).

Mondo non e' che intendevi che le $f in A$ sono omomorfismi di $Z_5$-spazi vettoriali?

[Lord K]

Sì è vero che non va bene, ma non essendo molto chiaro il problema, ho chiesto una formalizzazione personale anche per capire meglio come procedere.