Resti

[lewis]

Ciao. Come al solito sto cercando di prepararmi per l'esame di Matematica Discreta dell'uni....potreste aiutarmi con questo esercizio (please)?

Si determinino, se esistono, tutti gli interi n che divisi per 5 danno resto 2 e divisi per 11 danno resto 8.

Allora: premesso che ne avevo "risolto " uno simile, ma in maniera molto (troppo) empirica, voi avreste un metodo matematico per risolverlo (ed eventualmente potreste dirmi che definizioni\teoremi\regole applicate)?
Grazie mille.
Lew

[Morabito]

in algebra vengono chiamate classi di congruenza modulo n, definite nell'insieme dei numeri interi!
non sono difficili da capire, e sono, nel tuo caso,
Z5 e Z11

dato un numero intero a
a=kn +r , con 0<=r<n. allora [a]=[r]

[lewis]

Innanzitutto grazie x la risposta....credo di aver capito....ma quindi che scrivo all'esame come risposta?
E devo motivare in qualche modo?

(scusa se abuso della tua pazienza....ma voglio proprio passarlo, 'sto esame!!)
ciao

[frodo4]

Se ho capito bene il testo dell'esercizio si tratta di risolvere il sistema di congruenze

$\{(x-=2 mod 5),(x-=8 mod11):}$

In questo modo trovi tutti gli n che divisi per 5 danno resto 2 e divisi per 11 danno resto 8.

Ciao

[Morabito]

ora non so se l'esercizio è impostato in modo da dover risolvere il sistema di congruenze. dal modo in cui lo hai scritto mi sembra che siano due esercizi separati. comunque la soluzione di

$x-=2 (mod5)$

è x - 2 = 5k cioè
x=2+ 5k, k numero intero
e allo stesso modo, risolvi l'altro.

se invece è un sistema di congruenze procedi allo stesso modo esplicitando la x in una delle due e poi applichi il metodo di sostituzione, cioè vai a sostituire la x nell'altra equazione.
in bocca la lupo per l'esame!

[lewis]

No è un unico esercizio.
Ma allora la risoluzione è semplicemente questa?
n=2+ 5k
Poi scrivo anche l'altra, n=11h + 8.
Quindi 11h + 8=5k+2
k=(11h+6)/5

Poi pongo n=5*((11h+6)/5).

Ma allora l'esercizio finisce così? n così trovato è sia divisibile per 11 con resto 8, e per 5 con resto 2?
Basta fare questi passaggi?
Grazie a tutti per le risposte (e per gli auguri )

[frodo4]

No è un unico esercizio.
Ma allora la risoluzione è semplicemente questa?
n=2+ 5k
Poi scrivo anche l'altra, n=11h + 8.
Quindi 11h + 8=5k+2
k=(11h+6)/5

Poi pongo n=5*((11h+6)/5).

Ma allora l'esercizio finisce così? n così trovato è sia divisibile per 11 con resto 8, e per 5 con resto 2?
Basta fare questi passaggi?
Grazie a tutti per le risposte (e per gli auguri )

per la prima ok n = 2 + 5k, sostituendo nella seconda poi hai che
$2+5h-=8mod11$, da cui $5h-=6mod11$, a questo punto devi considerare che sei in $ZZ_11$ e quindi devi trovare l'inverso moltiplicativo di 5 in $ZZ_11$ che è 9, in quanto $9*5-=1$ in $ZZ_11$.
Quindi l'equazione divente $h-=54mod11$ che è uguale a $h-=10mod11$ per cui hai h=10+11t.
Sostituendo poi nella prima che hai trovato hai che n=2+5*(10+11t)=52+55t, $t in ZZ$ che sono tutti gli n che divisi per 5 hanno resto 2 e divisi per 11 hanno resto 8.

Ciao

[lewis]

Ehm...perdona l'ignoranza...ma come hai fatto a calcolare che 9 è l'inverso moltiplicativo di 5 in Z11?
Grazie mille!

[frodo4]

Bisogna trovare un elemento di $ZZ_11$ tale che moltiplicato per 5 sia congruente a 1 mod11.
In questo caso si ha che 9*5=45 e $45-=1mod11$.

[lewis]

Ok...ma come faccio a sapere che quell'elemento è proprio 45?
Vado per tentativi?
Scusa se insisto, ma ho assoltamente bisogno di capire bene queste cose...