Prendendo spunto da un esercizio postato da un altro utente, vorrei dimostrare i seguenti due risultati (sempre dall'Hernstein)
i) Sia $G$ un gruppo e sia $a in G$. Se $a^m=e$ dimostrare che $o(a)|m$.
ii) Se in un gruppo $G$ $a^5=e$ e $aba^(-1)=b^2$ per certi elementi $a,b in G$, trovare $o(b)$.
Potete controllare ed eventualmente correggere i miei tentativi di soluzione? Grazie
i) Se $o(a)=m$ allora non c'è nulla da dimostrare.
Supponiamo allora che sia $o(a)!=m$. Essendo $o(a)$ il più piccolo intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ si ha $o(a)<m$ da cui segue che $EE q$ ed $r$, $0<=r<o(a)$ tali che $m=qo(a)+r$. Pertanto: $e=a^m=a^(qo(a)+r)=a^(qo(a))a^r.$
Ora se $r=0$ si ha immediatamente che $o(a)|m$. Se invece $r!=0$ si ha $a^r!=e$ quindi $a^(qo(a))=(a^r)^(-1)=a^(-r)!=e$ cioè $(a^(o(a)))^q!=e$ e quindi $e^q!=e$ e ancora $e!=e$ assurdo. Resta pertanto che $r$ può solo essere $0$.
ii) Parto con $a^5ba^(-5)$.
Ho $a^5ba^(-5)=a^4aba^(-1)a^(-4)=a^4b^2a^(-4)=a^3b^4a^(-3)=...=b^10$.
D'altra parte è: $a^5=e$ e quindi anche $a^(-5)=e$, pertanto $a^5ba^(-5)=b$.
Uguagliando i due risultati ottenuti si ha: $b=b^10$ da cui $b^9=e$ ed allora $o(b)=9$.