gruppi: ordine di un elemento

[deserto]

Prendendo spunto da un esercizio postato da un altro utente, vorrei dimostrare i seguenti due risultati (sempre dall'Hernstein)

i) Sia $G$ un gruppo e sia $a in G$. Se $a^m=e$ dimostrare che $o(a)|m$.

ii) Se in un gruppo $G$ $a^5=e$ e $aba^(-1)=b^2$ per certi elementi $a,b in G$, trovare $o(b)$.

Potete controllare ed eventualmente correggere i miei tentativi di soluzione? Grazie

i) Se $o(a)=m$ allora non c'è nulla da dimostrare.
Supponiamo allora che sia $o(a)!=m$. Essendo $o(a)$ il più piccolo intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ si ha $o(a)<m$ da cui segue che $EE q$ ed $r$, $0<=r<o(a)$ tali che $m=qo(a)+r$. Pertanto: $e=a^m=a^(qo(a)+r)=a^(qo(a))a^r.$
Ora se $r=0$ si ha immediatamente che $o(a)|m$. Se invece $r!=0$ si ha $a^r!=e$ quindi $a^(qo(a))=(a^r)^(-1)=a^(-r)!=e$ cioè $(a^(o(a)))^q!=e$ e quindi $e^q!=e$ e ancora $e!=e$ assurdo. Resta pertanto che $r$ può solo essere $0$.

ii) Parto con $a^5ba^(-5)$.

Ho $a^5ba^(-5)=a^4aba^(-1)a^(-4)=a^4b^2a^(-4)=a^3b^4a^(-3)=...=b^10$.

D'altra parte è: $a^5=e$ e quindi anche $a^(-5)=e$, pertanto $a^5ba^(-5)=b$.

Uguagliando i due risultati ottenuti si ha: $b=b^10$ da cui $b^9=e$ ed allora $o(b)=9$.

[vict85]

Sul primo non ci sono problemi...

Sul secondo hai solo dimostrato che $o(b)|9$... ma può ancora essere uguale a $3$ o $1$ (cioé $b=e$)

Supponiamo per assurdo che si abbia $o(b)=3$
$a^2ba^(-2) = b^4 = b$
$a^2ba^(-2) = a^(5)ba^(-5)$
$b = a^(3)ba^(-3)$
$a^2ba^(-2) = a^(3)ba^(-3)$
$b = aba^(-1)$
$b = b^2$
$b = e$ e quindi l'assurdo.

Ovviamente si può aversi $b=e$ in quanto $aea^(-1) = e^2 = e$ quindi le soluzioni sono $o(b)=1$ e $o(b)=9$ (non ho controllato però se 9 è realmente ammissibile, magari porta anche lui a qualche contraddizione, ma non credo)

[deserto]

Infatti hai ragione: non necessariamente è $o(b)=9$.
Direi che quindi possa aversi o $o(b)=1$ da cui $b=e$, oppure proprio $o(b)=9$

Se ora fissato $a in G$ considero $G_a={b in G; aba^(-1)=b^2}$, posso affermare che $G_a$ è un sottogruppo di $G$?
Similmente a quanto abbiamo visto in precedenza ho $e in G_a$.
Considerati poi $b,c in G_a$ ho:

$(aba^(-1))(aca^(-1))^(-1)=aba^(-1)ac^(-1)a^(-1)=abc^(-1)a^(-1)=a(bc^(-1))a^(-1)$

ma anche:

$(aba^(-1))(aca^(-1))^(-1)=b^2(c^2)^(-1)=b^2(c^(-1))^2$

Quindi $bc^(-1)in G_a$ se e solo se $b^2(c^(-1))^2=(bc^(-1))^2$ che è vero solo se $G$ è un gruppo abeliano.

Allora $G$ abeliano $=> G_a$ è un sottogruppo di $G$ ed inoltre è anche normale.

Immagino che se anche aggiungessi il fatto che sia $a^5=e$ ossia se considerassi $G_a={b in G; aba^(-1)=b^2, a^5=e}$, questo non mi garantirebbe che $G_a$ sia un sottogruppo di $G$ senza l'abelianità.

Giusto?

[Lord K]

Ho $a^5ba^(-5)=a^4aba^(-1)a^(-4)=a^4b^2a^(-4)=a^3b^4a^(-3)=...=b^10$.

Mi aiuti a capire perchè vale questa uguaglianza $a^4b^2a^(-4)=a^3b^4a^(-3)$ ??? Grazie

[apatriarca]

$a^4b^2a^{-4} = a^3ab^2a^{-1}a^{-3} = a^3aba^{-1}aba^{-1}a^{-3} = a^3b^4a^{-3}$