Esercizio su polinomio con matrici

[nato_pigro]

Sia $AinM_n(RR)$ e $p(x)inRR[x]$ un polinomio tale che $p(A)=0$. Provare che se $BinM_n(RR)$ è simile ad $A$ allora $p(B)=0$.

Come si risolve? io ho provato con un discorso sulle valutazioni del polinomio credendo che le proprietà dei polinomi a coefficienti in $KK$ valessero anche in questo caso. Altri mi hanno detto che hanno usato l'induzione...

[ViciousGoblin]

Dire che $B$ e' simile ad $A$ significa $B=M^{-1}AM$ per $M$ invertibile. Allora vedi facilmente che per ogni $k$ intero $B^k=M^{-1}A^kM$.
Ne segue che per qualunque polinomio $P$ si ha $P(B)=M^{-1}P(A)M$. Mi pare che questo dica tutto.