Congruenze per induzione

[adaBTTLS]

sì, è giusto.

[corel_86]

Perfetto adesso faccio gli altri. Mi aiuti a vedere se faccio giusto? grazie!!!!
l'esercizio $3^(2n) - 2*3^n ≡ 3 (mod 4)$ e riconducibile a

=> $3^n*7≡ 3 (mod 4)

per n=1 essendo numeri naturali si parte dal numero 1 si ha

$21≡3 (mod 4)$ falso perchè 21 e 3 se li divido per 4 hanno resto diverso


$4^(2n) - 3*4^n ≡ 4 (mod 3)$ si riconduce a $4^n≡ 1 (mod 3)

per n=1 si ha

4≡1 (mod 3) vero

per n+1 si ha

$4^(n+1)≡ 4 (mod 3)$ => $4^n*4^1≡ 4 (mod 3)$ => $4^n*4^1≡ 1 (mod 3)$

prendo il secondo membro e si ha:

$(1+3h)4=4+12h=3+1+12h=3(1+4h)+1$

fisso k=1+4h => 3k +1 vero

[Steven]

Certo mi viene abbastanza la pelle d'oca davanti al primo esercizio (ma pure al secondo).

Infatti dice
$4^(2n)\equiv1 (mod3)$ ma questo è limitante, dal momento che l'esponente non deve essere pari per forza, vale in generale
$4^n\equiv1 (mod3)$.
Banale da provare: siccome
$4\equiv1 (mod3)$ e siccome è lecito innalzare ad esponente i due membri della congruenza, allora
$4^n\equiv 1^n =1(\mod3)$

Il secondo è uguale al primo: infatti eliminando senza problemi il termine $3*4^n$ che vale $0 (mod3)$ e facendo diventare il $4$ come $1$, si ha quello di prima.

[corel_86]

se ho fatto tutto giusto il merito e senza dubbio tuo grazie tante ada sei stata paziente e gentile

se riesco a fare il compito e per merito tuo

[corel_86]

ovvimente grazie anche alle altre persone che mi hanno aiutato........

[adaBTTLS]

prego! mi fa piacere se posso aiutarti!

anche se riesco a leggere con difficoltà le tue formule (ho visto che il simbolo di congruenza all'interno di una formula si ottiene con -=),
nella seconda hai copiato male il testo, perché inizialmente c'era (3n) come esponente, e così è vera, mentre qui hai copiato con (2n) come esponente, e così è giustamente falsa.
per la terza c'è qualcosa che non va quando hai raccolto (rivedila, e cerca di usare il simbolo giusto oppure è meglio uguale che un simbolo che il sistema non legge).

ciao.

[corel_86]

allora il testo è giusto sia della seconda che nella terza......per quanto riguarda il terzo esercizio ho sbagliato a scrivere comunque ho fatto in questo modo ti faccio vedere tutti i passaggi (il simbolo => è la freccia non la congruenza)

$4^(2n) - 3*4^n≡4 (mod 3)$
$4^n*4^2-3*4^n≡4(mod 3)$
$4^n(4^2-3)≡4(mod 3)$
$4^n*(13)≡4(mod 3)$
$4^n*(13)≡1(mod 3)$

per n=1 si ha

$52≡1(mod 3)$ cioè essendo 52=3*17+1 risulta $1≡1 (mod 3)$ il che risulta vero

poi applicando per n+1 si ha

$4^(n+1)*(13)≡1 (mod 3)

$4^n*4^1*(13)≡1 (mod 3)

prendo il secondo membro e si ottiene

$(1+3h)4 = 4+12h = 1+3+12h = 1+3(1+4h)

fisso k=1+4h e risulta $1+3k$ e cosi si dimostra che è vero

[adaBTTLS]

$4^(2n)=(4^n)^2 != 4^n*4^2=4^(n+2)$
mi fermo qui per ora, così ti invio subito il messaggio.

[corel_86]

già è vero che sciocco un errore da 5 elementare......... aspetta che correggo

[corel_86]

mi sono fermato!!! dopo che ho fatto questi passaggi che devo fare?

$4^(2n) - 3*4^n≡4 (mod 3)$

$4^n(4^n-3)≡4(mod 3)$

$4^n(4^n-3)≡1(mod 3)$